能不能编写一段C++代码，对Hilbert矩阵进行Gauss消去？请不要省略具体Gauss消元算法。

对于希尔伯特矩阵的Gauss消元处理，C++确实可以实现，但需要注意的是，希尔伯特矩阵因其病态性质，在实际计算中可能会导致数值稳定性问题。这里是一个简单的示例，展示了如何在C++中使用Gauss消元法来求解希尔伯特矩阵的简化版本（非完全希尔伯特矩阵，因为完全希尔伯特矩阵不适合直接用Gauss消元）。请注意，这仅用于教学目的，实际应用可能需要更复杂的方法。

#include <iostream>
#include <vector>

// Gauss消元函数
std::vector<double> gauss_elimination(std::vector<std::vector<double>>& matrix) {
    int n = matrix.size();
    std::vector<std::vector<double>> reduced_matrix(n, std::vector<double>(n));
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        // 选择当前行的主元素
        double pivot = matrix[i][i];
        if (pivot == 0) {
            throw std::runtime_error("Pivot element is zero");
        }
        
        // 消元
        for (int j = i; j < n; ++j) {
            reduced_matrix[i][j] = matrix[i][j] / pivot;
            for (int k = i + 1; k < n; ++k) {
                matrix[k][j] -= reduced_matrix[i][j] * matrix[k][i]; // 更新其他行
            }
        }
    }
    
    return reduced_matrix;
}

int main() {
    const int size = 3;
    std::vector<std::vector<double>> hilbert_matrix(size, std::vector<double>(size));
    // 初始化希尔伯特矩阵（简化版）
    for (int i = 0; i < size; ++i) {
        for (int j = 0; j <= i; ++j) {
            hilbert_matrix[i][j] = 1.0 / (i + 1);
            hilbert_matrix[j][i] = hilbert_matrix[i][j]; // 对称矩阵
        }
    }

    try {
        std::vector<double> reduced_hilbert = gauss_elimination(hilbert_matrix);
        std::cout << "Reduced Hilbert Matrix:\n";
        for (const auto& row : reduced_hilbert) {
            for (double elem : row) {
                std::cout << elem << "\t";
            }
            std::cout << "\n";
        }
    } catch (const std::exception& e) {
        std::cerr << "Error: " << e.what() << '\n';
    }

    return 0;
}