对于一个矩阵，将第一行加到第二行，第二列加到第一列是一个相似变换吗

将矩阵的第一行加到第二行，第二列加到第一列，可以表示为对原矩阵 $A$ 进行如下变换：

$$
B = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
a_{22} & a_{21}+a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
a_{11}+a_{21} & a_{11}+2a_{21}+a_{22}+a_{12} & \cdots & a_{1n}+a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n2} & a_{n1}+a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{bmatrix}
$$

可以看出，这个变换不是一个相似变换。因为在相似变换 $P^{-1}AP$ 中，$P$ 是可逆矩阵，而且 $P$ 和 $P^{-1}$ 作用于 $A$ 上的顺序是固定的。而在上述变换中，矩阵 $\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1\end{bmatrix}$ 不是可逆矩阵，因此不能表示为一个相似变换。