设A∈C^(nxn)的奇异值是σ1,σ2,•••,σn,证明|A|=±(i=1到n)个σi相加,即A的行列式的模为(i=1到n)个σi相乘
时间: 2024-04-02 13:36:10 浏览: 17
我们可以使用矩阵的奇异值分解来解决这个问题。
假设矩阵A可以进行奇异值分解为A=UΣV^H,其中U和V是酉矩阵,Σ是对角矩阵,其对角线上的元素是矩阵A的奇异值。
根据矩阵行列式的性质,我们可以将A的行列式写成:
|A| = |UΣV^H| = |U||Σ||V^H|
由于U和V是酉矩阵,它们的行列式的模都为1,因此我们可以将上式简化为:
|A| = |Σ|
而Σ是一个对角矩阵,其对角线上的元素是矩阵A的奇异值,因此:
|Σ| = σ1 σ2 ... σn
因此,我们得出结论:|A|=±(i=1到n)个σi相加,即A的行列式的模为(i=1到n)个σi相乘。
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设A∈C^(nxn)的奇异值是σ1,σ2,•••,σn,证明|A|=±(i=1到n)个σi相加,即A的行列式的模为(i=1到n)个σi相加
设A的各个奇异值为σ1,σ2,•••,σn,则根据奇异值分解定理,A可以表示为以下形式的乘积:A = UΣV^T,其中U和V是正交矩阵,Σ是对角矩阵,其主对角线上的元素为A的奇异值。由此可以得到:
|A| = |UΣV^T| = |U||Σ||V^T|
因为U和V都是正交矩阵,所以|U|和|V^T|的模均为1,即|U|=|V|=1。而Σ是对角矩阵,其行列式的模为其主对角线上的元素之积,即:
|Σ| = (i=1到n)个σi相乘
因此,可以得到:
|A| = |U||Σ||V^T| = (i=1到n)个σi相乘
因为|A|的符号由其行列式的符号决定,所以|A|的模可以表示为加减号后面的式子,即:
|A| = ±(i=1到n)个σi相加
因此,可以得到结论:A的行列式的模为(i=1到n)个奇异值相加。
设A∈C^(nxn),λi是A的特征值,σi是A的奇异值。证明(∑i)|λi|^2≤tr(A^HA)=tr(AA^H)=(∑i)σi^2等式成立的充分条件是A为正规矩阵
首先,我们有以下结论:
对于任意复矩阵A,有tr(AA^H) = ∑|a_ij|^2,其中a_ij为A的元素。
证明:
tr(AA^H) = tr((A^H)^HA) = ∑|a_ij|^2,其中a_ij为A的元素。
根据谱定理,正规矩阵可以对角化为:
A = UΛU^H,其中U是酉矩阵,Λ是对角矩阵,对角线上的元素为特征值λ_i。
因此,A^H = UΛ^HU^H,可以得到:
AA^H = UΛU^H UΛ^HU^H = UΛΛ^HU^H
tr(AA^H) = tr(UΛΛ^HU^H) = tr(ΛΛ^H)
而对于一个对角矩阵Λ,ΛΛ^H的对角线上的元素为|λ_i|^2。
因此,tr(ΛΛ^H) = ∑|λ_i|^2,所以tr(AA^H) = ∑|λ_i|^2。
又因为A为正规矩阵,所以A可以对角化为A = UΛU^H,其中U是酉矩阵,Λ是对角矩阵,对角线上的元素为特征值λ_i。
因此,A^HA = (UΛU^H)^H(UΛU^H) = UΛ^HΛU^H
tr(A^HA) = tr(UΛ^HΛU^H) = tr(Λ^HΛ)
对于一个对角矩阵Λ,Λ^HΛ的对角线上的元素为|λ_i|^2。
因此,tr(Λ^HΛ) = ∑|λ_i|^2,所以tr(A^HA) = ∑|λ_i|^2。
又因为A为正规矩阵,所以A可以对角化为A = UΣV^H,其中U和V是酉矩阵,Σ是对角矩阵,对角线上的元素为奇异值σ_i。
因此,|a_ij|^2 = |∑σ_k(u_ikv_jk^*)|^2 = ∑|σ_k|^2|u_ik|^2|v_jk|^2
tr(AA^H) = ∑|a_ij|^2 = ∑∑|σ_k|^2|u_ik|^2|v_jk|^2
因此,tr(AA^H) = ∑σ_i^2 成立。
综上所述,当A为正规矩阵时,有:
tr(AA^H) = ∑|λ_i|^2
tr(AA^H) = ∑σ_i^2
因此,等式成立的充分条件是A为正规矩阵。
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