编程计算:给定数据 x 1 2 f(x) 2 3 f’(x) 0 -1 构造埃尔米特插值多项式H3(x)并计算f(1.5)
时间: 2024-05-25 11:14:32 浏览: 17
首先,根据给定数据,我们可以列出以下表格:
| x | f(x) | f'(x) |
|----|------|-------|
| 1 | 2 | 0 |
| 2 | 3 | -1 |
接下来,我们需要通过埃尔米特插值法构造一个三次多项式H3(x),使得H3(1) = 2,H3(2) = 3,H3'(1) = 0,H3'(2) = -1。
首先,我们先构造一个二次多项式H2(x),然后再通过添加一个额外的项来得到H3(x)。对于H2(x),我们可以使用拉格朗日插值法,得到:
H2(x) = f(1)L2(x) + f(2)L1(x) - f'(1)L2(x)(x-1)
其中,L1(x)和L2(x)分别是拉格朗日插值多项式:
L1(x) = (x-2)/(1-2) = 3-x
L2(x) = (x-1)/(2-1) = x-1
将f(1)、f(2)、f'(1)代入H2(x)中,得到:
H2(x) = 2(3-x) + 3(x-1) - 0(x-1)(x-2)
化简后得到:
H2(x) = -x^2 + 5x - 4
接下来,我们需要添加一个额外的项来得到H3(x)。根据埃尔米特插值法的定义,我们需要找到一个函数g(x),使得g(1) = g(2) = f(2),g'(1) = f'(1),g'(2) = f'(2)。考虑到g(x)的形式为:
g(x) = f(2) + a(x-1)^2(x-2) + b(x-1)^2 + c(x-1)(x-2)^2
其中,a、b、c为待确定的系数。将g(x)代入以上条件,可以得到下列方程组:
f(2) + a = f(2)
f(2) + 2a + b - c = f'(1)
f(2) + 4a + 2b + 2c = f(2)
-2a - 2b + 2c = f'(2)
解这个方程组,可以得到:
a = 1/2
b = -3/2
c = -1/2
因此,H3(x)为:
H3(x) = -x^3/2 + 9x^2/2 - 13x + 7
最后,我们可以通过将x = 1.5代入H3(x)计算出f(1.5)的近似值:
H3(1.5) = -(1.5)^3/2 + 9(1.5)^2/2 - 13(1.5) + 7 = 2.4375
因此,f(1.5)的近似值为2.4375。
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