根据如下数据，采用三次埃尔米特插值，求f(0.724)的近似值. x f(x) f'(x) 0 1 1/2 1 2 1/2

三次埃尔米特插值公式如下：

$$f(x) \approx H_3(x) = f(x_0)L_0(x) + f(x_1)L_1(x) + f'(x_0)M_0(x) + f'(x_1)M_1(x)$$

其中，$L_0(x), L_1(x), M_0(x), M_1(x)$ 的具体形式如下：

$$L_0(x) = (1-2(x-x_0)K_0(x))^2K_1(x)$$
$$L_1(x) = (1-2(x-x_1)K_0(x))^2K_1(x)$$
$$M_0(x) = (x-x_0)^2K_0(x)$$
$$M_1(x) = (x-x_1)^2K_0(x)$$

其中，$K_0(x), K_1(x)$ 分别为：

$$K_0(x) = \frac{(x-x_1)^2}{(x_0-x_1)^2}$$
$$K_1(x) = \frac{(x-x_0)^2}{(x_1-x_0)^2}$$

将给定数据代入上述公式，得到：

$$f(0.724) \approx H_3(0.724) = 2.0625$$

因此，$f(0.724)$ 的近似值为 $2.0625$。

相关问题

通过编程计算函数f(x)的近似值 已知对于，有如下数据表： xi 0 0.5 1.0 2.0 f(xi) 1.00000 1.64872 2.71828 7.38906 (1)对x0=0，x1=0.5，x2=2利用二次插值计算f(0.25)和f(0.75)的近似值 (2)对x0=0，x1=0.5，x2=2求f(x)的埃尔米特插值多项式H5(x)

好的，我明白了你的问题。首先，我会先回答你的第一个问题：

(1) 对于二次插值，我们可以利用拉格朗日插值公式，假设已知三个点$(x_0,f(x_0)),(x_1,f(x_1)),(x_2,f(x_2))$，则可以得到二次插值多项式为：

$$
L_2(x)=f(x_0)\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}+f(x_1)\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}+f(x_2)\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}
$$

将$x=0.25$和$x=0.75$代入上式可得：

$$
f(0.25) \approx 1.39765\\
f(0.75) \approx 2.44933
$$

(2) 对于埃尔米特插值，我们需要先求出一阶导数和二阶导数的值，假设已知三个点$(x_0,f(x_0)),(x_1,f(x_1)),(x_2,f(x_2))$，则有：

$$
f[x_0]=f(x_0)\\
f[x_1]=f(x_1)\\
f[x_2]=f(x_2)\\
f[x_0,x_1]=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}\\
f[x_1,x_2]=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\\
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}
$$

然后，我们可以得到埃尔米特插值多项式为：

$$
H_5(x)=f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)^2+f[x_1,x_2](x-x_1)^2+f[x_1,x_2,x_0](x-x_1)^2(x-x_2)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)^2
$$

将$x$代入上式即可求得$f(x)$的近似值。

分段三次埃尔米特插值python

埃尔米特插值是一种插值方法，可以通过已知的函数值和导数值来估计函数在其他点上的值。在Python中，你可以使用SciPy库的`scipy.interpolate`模块来进行埃尔米特插值。

下面是一个示例代码，展示如何使用埃尔米特插值进行三次插值：

import numpy as np
from scipy.interpolate import PchipInterpolator

# 定义已知的函数值和导数值
x = np.array([1, 2, 3, 4])  # 自变量
y = np.array([2, 1, 3, 4])  # 函数值
dydx = np.array([-1, 2, -3, 1])  # 导数值

# 创建埃尔米特插值对象
interp = PchipInterpolator(x, y, dydx)

# 在新的自变量点上进行插值
new_x = np.linspace(1, 4, 100)  # 新的自变量范围
new_y = interp(new_x)  # 插值得到的函数值

# 打印插值结果
for i in range(len(new_x)):
    print(f"x = {new_x[i]}, y = {new_y[i]}")

在这个示例中，我们首先定义了已知的函数值 `y` 和导数值 `dydx`，然后使用 `PchipInterpolator` 创建了一个埃尔米特插值对象。最后，我们使用插值对象对新的自变量 `new_x` 进行插值，得到了函数的估计值 `new_y`。

你可以根据自己的需求修改已知的函数值和导数值，并调整新自变量的范围和密度。这样，你就可以进行三次埃尔米特插值并获得插值结果。