给出旋转矩阵等于旋转矩阵的逆的推导过程

矩阵旋转实际上涉及到的是旋转变换，当我们说两个旋转矩阵相等并且互为逆，意味着这两个矩阵通过绕同一个轴进行顺时针和逆时针转90度之后效果是一样的。对于二维平面中的正交变换，比如二维空间中的旋转变换矩阵，通常我们考虑的是围绕x轴、y轴或z轴（如果是在三维空间）进行的旋转。

假设我们有一个围绕x轴旋转α角的旋转矩阵Rx(α)，它的逆矩阵就是Rx(-α)。对于一个二维空间的旋转矩阵，它可以表示为：

\[ Rx(\alpha) = \begin{bmatrix}
\cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\
\sin(\alpha) & \cos(\alpha)
\end{bmatrix} \]

其逆矩阵则为：

\[ Rx^{-1}(\alpha) = Rx(-\alpha) = \begin{bmatrix}
\cos(-\alpha) & \sin(-\alpha) \\
-\sin(-\alpha) & \cos(-\alpha)
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos(\alpha) & \sin(\alpha) \\
-\sin(\alpha) & \cos(\alpha)
\end{bmatrix} \]

这是因为余弦函数和正弦函数都是周期性的，它们的负角度值与正角度值有相同的函数值。所以，对于旋转90度的情况，即α=π/2，我们可以验证：

\[ Rx(\frac{\pi}{2}) = \begin{bmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{bmatrix} \]
\[ Rx^{-1}(\frac{\pi}{2}) = \begin{bmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{bmatrix} \]

这说明了这两个矩阵确实是互为逆的，且旋转了π/2后会恢复到原来的位置。