已知一向量和该向量旋转后的向量，怎么推导旋转矩阵

假设原始向量为 $v$，旋转后的向量为 $v'$，旋转矩阵为 $R$，则有：

$$v' = Rv$$

我们将 $v$ 和 $v'$ 展开成列向量的形式：

$$v=\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix},\quad v'=\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix}$$

则有：

$$\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix} = R\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}r_{11} & r_{12} & r_{13}\\r_{21} & r_{22} & r_{23}\\r_{31} & r_{32} & r_{33}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}$$

展开后可得：

$$\begin{cases}x' = r_{11}x + r_{12}y + r_{13}z\\y' = r_{21}x + r_{22}y + r_{23}z\\z' = r_{31}x + r_{32}y + r_{33}z\end{cases}$$

我们已知 $v$ 和 $v'$，可以将它们代入上式，得到一个含有 $9$ 个未知数 $r_{ij}$ 的线性方程组，对其进行求解即可得到旋转矩阵 $R$。

需要注意的是，求解出来的矩阵 $R$ 不一定是唯一的，因为在三维空间中存在很多种不同的旋转方式。