已知一向量和该向量旋转后的向量,怎么推导旋转矩阵
时间: 2024-04-18 09:16:24 浏览: 25
假设原始向量为 $v$,旋转后的向量为 $v'$,旋转矩阵为 $R$,则有:
$$v' = Rv$$
我们将 $v$ 和 $v'$ 展开成列向量的形式:
$$v=\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix},\quad v'=\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix}$$
则有:
$$\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix} = R\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}r_{11} & r_{12} & r_{13}\\r_{21} & r_{22} & r_{23}\\r_{31} & r_{32} & r_{33}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}$$
展开后可得:
$$\begin{cases}x' = r_{11}x + r_{12}y + r_{13}z\\y' = r_{21}x + r_{22}y + r_{23}z\\z' = r_{31}x + r_{32}y + r_{33}z\end{cases}$$
我们已知 $v$ 和 $v'$,可以将它们代入上式,得到一个含有 $9$ 个未知数 $r_{ij}$ 的线性方程组,对其进行求解即可得到旋转矩阵 $R$。
需要注意的是,求解出来的矩阵 $R$ 不一定是唯一的,因为在三维空间中存在很多种不同的旋转方式。
相关问题
已知一向量和该向量旋转后的向量,怎么求旋转矩阵
设原向量为v,旋转后的向量为v',旋转矩阵为R,那么有:
v' = Rv
两边同乘R的逆矩阵R^-1:
R^-1v' = R^-1(Rv)
化简得:
R^-1v' = v
此时,我们已经得到了旋转前的向量v,以及旋转后的向量v',可以通过求解线性方程组来求解旋转矩阵R,具体方法可以使用高斯消元法等求解线性方程组的方法来求解。
MATLB 两个旋转矩阵求旋转向量和旋转角
以下是MATLAB求解两个旋转矩阵的旋转向量和旋转角的方法:
```matlab
% 假设已知两个旋转矩阵R1和R2
% 求解旋转向量和旋转角
theta = acos((trace(R2'*R1)-1)/2);
k = (R2'*R1-R2*R1')/(2*sin(theta));
```
其中,`trace()`函数用于计算矩阵的迹,`acos()`函数用于计算反余弦值,`sin()`函数用于计算正弦值。`'`符号表示矩阵的转置,`*`符号表示矩阵的乘法,`/`符号表示矩阵的除法,`()`符号用于控制运算顺序。
相关推荐
![rar](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083606.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)