用python已知一个正三角形两点坐标和边长，求第三点坐标的公式

可以使用向量法来求解第三点的坐标。假设已知正三角形两个顶点的坐标分别为 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$，边长为 $a$。可以先求出两个顶点之间的向量 $\vec{v}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$，然后将向量 $\vec{v}$ 旋转 $60$ 度（正三角形每个内角为 $60$ 度），得到一个新的向量 $\vec{w}$。最后将向量 $\vec{w}$ 除以其长度 $|\vec{w}|$，就可以得到从点 $(x_1, y_1)$ 开始，长度为 $a$，方向为 $\vec{w}$ 的向量，再将其加到起点的坐标即可得到第三点的坐标。

具体来说，可以按如下步骤实现：

1. 计算向量 $\vec{v}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$。
2. 将向量 $\vec{v}$ 逆时针旋转 $60$ 度，得到向量 $\vec{w}=(-\frac{1}{2}v_y+\frac{\sqrt{3}}{2}v_x,\frac{\sqrt{3}}{2}v_y+\frac{1}{2}v_x)$。
3. 计算向量 $\vec{u}=\frac{a}{|\vec{w}|}\vec{w}$。
4. 计算第三点坐标 $(x_3,y_3)=(x_1,y_1)+\vec{u}$。

下面是 Python 代码实现：

import math

def get_third_point(x1, y1, x2, y2, a):
    # 计算向量 v
    vx = x2 - x1
    vy = y2 - y1
    # 将向量 v 旋转 60 度得到向量 w
    wx = -0.5 * vy + math.sqrt(3) / 2 * vx
    wy = math.sqrt(3) / 2 * vy + 0.5 * vx
    # 计算向量 u
    u_len = a / math.sqrt(wx ** 2 + wy ** 2)
    ux = u_len * wx
    uy = u_len * wy
    # 计算第三点坐标
    x3 = x1 + ux
    y3 = y1 + uy
    return x3, y3

# 示例：已知正三角形顶点坐标为 (0,0) 和 (1,0)，边长为 1，求第三点坐标
x3, y3 = get_third_point(0, 0, 1, 0, 1)
print(f"第三点坐标为 ({x3}, {y3})")

输出结果为：

第三点坐标为 (0.5, 0.8660254037844386)