ln(1-2x)/x 求当x趋向于0时的极限
时间: 2024-04-21 10:25:09 浏览: 34
我们可以使用洛必达法则来求解这个极限。首先,将 ln(1-2x)/x 写成分数形式,得到:
ln(1-2x)/x = (ln(1-2x) - ln(1))/x
然后,将极限 x 趋向于 0,得到:
lim x→0 (ln(1-2x) - ln(1))/x
对上下分别求导:
lim x→0 (-2/(1-2x) - 0)/1
得到极限为:
lim x→0 (-2/(1-2x)) = -2
因此,ln(1-2x)/x 当 x 趋向于 0 时的极限为 -2。
相关问题
limx→0 (f(x-1)/ln(x-1)=1推出f(x-1)在想x=1的值
### 回答1:
根据给定的极限式,可以得到:
limx→0(f(x-1)/ln(x-1)) = 1
因此,当x趋近于1时,f(x-1)与ln(x-1)的比值趋近于1。
根据极限的定义,我们可以得到:
limx→1(f(x-1)-f(0))/(x-1) = L
其中L为常数。
因此,当x趋近于1时,f(x-1)与f(0)的差值与x-1的比值趋近于L。
由此可以推导出:
limx→1(f(x-1)-f(0))/(ln(x-1)) = L
因此,f(x-1)在x=1时的值为f(0)。
### 回答2:
根据题目中的条件,我们知道当$x \to 0$时,$\lim_{x \to 0} \left(\frac{f(x-1)}{\ln(x-1)}\right) = 1$。要求出$f(x-1)$在$x=1$处的值,我们可以采用以下方法来计算。
首先,将$x$替换为$x-1$,得到$\lim_{x \to 0} \left(\frac{f(1-x)}{\ln(1-x-1)}\right) = \lim_{x \to 0} \left(\frac{f(1-x)}{\ln(-x)}\right)$。
我们知道,在$x \to 0$的过程中,$\ln(-x)$的值趋向于$-\infty$。由于$f(1-x)$与$\ln(-x)$的比值趋向于1,我们可以推断出$f(1-x)$在$x=1$的值为$-\infty$。
因此,根据题目中的条件,当$\lim_{x \to 0} \left(\frac{f(x-1)}{\ln(x-1)}\right) = 1$时,可以推出$f(1)$的值为$-\infty$。
### 回答3:
题目中给出了一个极限的条件:当x趋近于0时,limx→0 (f(x-1)/ln(x-1))=1。我们需要根据这个条件来推导f(x-1)在x=1时的值。
首先,根据极限的定义,我们可以得到一个重要的结论:limx→a (g(x))=L,则对于任意的ε>0,存在一个正数δ>0,使得当0<|x-a|<δ时,有|g(x)-L|<ε。
回到题目中,根据已知条件limx→0 (f(x-1)/ln(x-1))=1,我们可以将其转化为:对于任意的ε>0,存在一个正数δ>0,使得当0<|x-0|<δ时,有|f(x-1)/ln(x-1)-1|<ε。
接下来,我们将证明f(x-1)在x=1的值存在且唯一。
假设limx→1 (f(x-1)/ln(x-1))存在,且等于L。则根据极限的定义,对于任意的ε>0,存在一个正数δ>0,使得当0<|x-1|<δ时,有|f(x-1)/ln(x-1)-L|<ε。
由于limx→0 (f(x-1)/ln(x-1))=1,我们可以选择ε=1/2。根据上述性质,存在一个正数δ>0,使得当0<|x-0|<δ时,有|f(x-1)/ln(x-1)-1|<1/2。
同时,存在一个正数δ'>0,使得当0<|x-1|<δ'时,有|f(x-1)/ln(x-1)-L|<1/2。
取一个小的正数ε',使得ε'>0且ε'<min(δ,δ')。那么当0<|x-1|<ε'时,根据三角不等式,有:
|1 - L| = |(f(x-1)/ln(x-1) - L) + (f(x-1)/ln(x-1) - 1)| ≤ |f(x-1)/ln(x-1) - L| + |f(x-1)/ln(x-1) - 1| < 1/2 + 1/2 = 1。
根据上述不等式,我们可以得出结论:存在一个小的正数ε',使得当0<|x-1|<ε'时,有|1-L|<1,即L的取值范围必然在(0,2)之间。
综上所述,由给定的条件limx→0 (f(x-1)/ln(x-1))=1,我们推出了f(x-1)在x=1处的值存在且唯一,且其取值范围在(0,2)之间。
求x*ln(x+根号下1+x^2)-根号下1+x^2在x趋向负无穷的极限
首先,我们观察被求极限的函数:
f(x) = xln(x+√(1+x^2)) - √(1+x^2)
当x趋向负无穷时,我们可以将f(x)中的√(1+x^2)看作x的高次项,从而得到:
f(x) ≈ xln(x+x) - x
f(x) ≈ xln(2x) - x
因此,我们可以将原式重写为:
f(x) = xln(2x) - x - xln(x+√(1+x^2))
f(x) = xln(2x) - x - xln(x(1+√(1/x^2)))
f(x) = xln(2x) - x - xln(x) - xln(1+√(1/x^2))
接下来,我们分别考虑每一项的极限:
lim xln(2x) = -∞ (当x趋向负无穷时)
lim xln(x) = -∞ (当x趋向负无穷时)
lim xln(1+√(1/x^2)) = lim xln(1+1/|x|) = 0 (当x趋向负无穷时)
因此,原式的极限为:
lim xln(x+√(1+x^2)) - √(1+x^2) = -∞
注意:在上述计算中,我们使用了对数函数和根号函数的渐进性质,即:
ln(x) / x → 0 (当x趋向正无穷时)
ln(x) / x → -∞ (当x趋向负无穷时)
√(x^2+1) / x → 1 (当x趋向正无穷时)
√(x^2+1) / x → 1 (当x趋向负无穷时)
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