N~∞，3/ln(1+e^n)^(1/n)的极限

### 回答1：
首先，我们可以观察到指数部分在 $n$ 趋近于无穷大时会迅速增长，因此可以猜测分母中的 $\ln(1+e^n)^{1/n}$ 会趋近于 $1$。

为了证明这一点，我们可以将 $\ln(1+e^n)^{1/n}$ 写成 $e^{\frac{\ln(1+e^n)}{n}}$ 的形式。然后，我们可以使用洛必达法则来求解 $\lim_{n \to \infty} \frac{\ln(1+e^n)}{n}$：

$$
\lim_{n \to \infty} \frac{\ln(1+e^n)}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{e^n}{1+e^n}}{1} = 1
$$

因此，我们有 $\lim_{n \to \infty} e^{\frac{\ln(1+e^n)}{n}} = e$. 因此，原式的极限为 $3/e$。

### 回答2：
我们来求解极限 N~∞ 3/ln(1 + e^n)^(1/n)。首先，我们将 ln(1 + e^n)展开成级数形式。

ln(1 + e^n) = e^n - 1/2(e^n)^2 + 1/3(e^n)^3 - ...

然后，我们将展开后的级数代入极限的表达式中。

lim (N->∞) 3/ln(1 + e^n)^(1/n) = lim (N->∞) 3/((e^n - 1/2(e^n)^2 + 1/3(e^n)^3 - ...)^(1/n)

接下来，我们可以利用指数函数的幂指数的性质：(a^b)^(1/c) = a^(b/c)。

lim (N->∞) 3/ln(1 + e^n)^(1/n) = lim (N->∞) 3/((e^n)^(1/n) - 1/2((e^n)^(2/n)) + 1/3((e^n)^(3/n)) - ...)

由幂指数的性质，我们知道 (e^n)^(1/n) = e^((n/n)) = e。同理可得，(e^n)^(2/n) = e^2，(e^n)^(3/n) = e^3。

lim (N->∞) 3/((e^n)^(1/n) - 1/2((e^n)^(2/n)) + 1/3((e^n)^(3/n)) - ...) = 3/(e - 1/2e^2 + 1/3e^3 - ...)

我们可以发现，上述表达式中的分母是一个几何级数，它的通项为 1/n * e^n。几何级数的求和公式为 a/(1 - r)，其中 a 是首项，r 是公比。在这个情况下，a = 1/e，r = 1/e。

所以，几何级数的和为 1/e / (1 - 1/e) = 1。

因此，极限 N~∞ 3/ln(1 + e^n)^(1/n) 的值为 3/1 = 3。

### 回答3：
要求求解该极限：

lim (n→∞) [3/ln(1 + e^n)^(1/n)]

由于指数函数是无穷增长的，当n趋向于无穷时，e^n也趋向于无穷。因此，我们可以考虑这个问题：

lim (n→∞) [3/ln(e^n)^(1/n)]

根据对数函数的性质，ln(e)等于1。我们可以简化表达式为：

lim (n→∞) [3/ln(e^(n/n))]

根据指数的性质，e^(n/n)等于e。我们继续简化表达式为：

lim (n→∞) [3/ln(e)]

再次利用对数函数的性质，ln(e)等于1。我们得到：

lim (n→∞) [3/1]

最终，我们得到这个极限的结果为3。

因此，N~∞时，3/ln(1 + e^n)^(1/n)的极限为3。