lim(n→∞)(4^(n+1)/(n+1)*3^(n+1))*(n*3^n/4^n)这个结果是多少
时间: 2024-05-17 16:12:47 浏览: 14
首先,我们可以将该式子拆分成两个部分,即:
lim(n→∞)(4^(n+1)/(n+1)*3^(n+1)) 和 lim(n→∞)(n*3^n/4^n)
对于第一个部分,我们可以将其写成:
lim(n→∞)[(4/3)^(n+1)*(3^(n+1)/(n+1))]
由于(3^(n+1)/(n+1))的极限为0,而(4/3)^(n+1)的极限为0,因此第一个部分的极限为0。
对于第二个部分,我们可以将其写成:
lim(n→∞)[(n/4)^n*(3/4)^n*3]
根据极限的定义,我们可以将其写成:
e^(lim(n→∞)[n*ln(n/4)+n*ln(3/4)+ln(3)])
我们可以使用洛必达法则求出上式的极限,即:
lim(n→∞)[n*ln(n/4)+n*ln(3/4)+ln(3)] = ∞
因此,第二个部分的极限为正无穷大。
由于第一个部分的极限为0,第二个部分的极限为正无穷大,因此整个式子的极限为0。
相关问题
求lim┬(n→∞)〖[1+(1 )/n〗+1/n^2 ]^n
可以使用自然对数来求解这个极限,具体步骤如下:
lim┬(n→∞)[1+(1/n)+1/n^2]^n
= lim┬(n→∞)e^(n ln(1+(1/n)+1/n^2))
= e^lim┬(n→∞)(n ln(1+(1/n)+1/n^2))
接下来,我们可以使用泰勒展开式来求解ln(1+x),即:
ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - ...
当x趋近于0时,其余项可以忽略不计,因此:
ln(1+x) ≈ x
将x=(1/n)+1/n^2代入,得到:
ln(1+(1/n)+1/n^2) ≈ (1/n)+1/n^2
代入原式中,得到:
lim┬(n→∞)[1+(1/n)+1/n^2]^n
= e^lim┬(n→∞)(n ln(1+(1/n)+1/n^2))
≈ e^lim┬(n→∞)(n/n + 1/n^2)
= e^1
因此,极限的值为e。
x^(n+2)/n+2求和,n从1到正无穷
这也是一个无穷级数,可以使用求和公式来解决。首先,我们需要确保级数收敛。可以使用积比测试(integral test)来证明它的收敛性:
∫(1,∞) x^(n+2)/(n+2) dn = [x^(n+2)ln(n+2)](1,∞) - ∫(1,∞) (n+2)ln(x)x^(n+1) dn
当x=1时,第一项变为无穷大,因此我们需要证明第二项的收敛性。根据积比测试,我们需要找到一个收敛的p级数来和它比较。因为(n+2)ln(x)x^(n+1)在n趋近于无穷大时比x^n增长得更快,所以我们可以使用一个p级数∑(n=1,∞) x^n来比较它:
lim(n→∞) [(n+2)ln(x)x^(n+1)] / x^n = lim(n→∞) (n+2)ln(x)x / x^n = lim(n→∞) (n+2)ln(x) / x^(n-1) = 0
因此,该级数收敛。接下来,我们可以使用求和公式来计算级数:
∑(n=1,∞) x^(n+2)/(n+2) = -∫(1,x) (t^2/(t+2)) dt
对它进行积分,得到:
∑(n=1,∞) x^(n+2)/(n+2) = -x^2ln(x+2)+2x+2ln(x+2)-4
因此,该级数的和为:
∑(n=1,∞) x^(n+2)/(n+2) = -x^2ln(x+2)+2x+2ln(x+2)-4,其中x>0。
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