x^(n+2)/n+2求和，n从1到正无穷

这也是一个无穷级数，可以使用求和公式来解决。首先，我们需要确保级数收敛。可以使用积比测试（integral test）来证明它的收敛性：

∫(1,∞) x^(n+2)/(n+2) dn = [x^(n+2)ln(n+2)](1,∞) - ∫(1,∞) (n+2)ln(x)x^(n+1) dn

当x=1时，第一项变为无穷大，因此我们需要证明第二项的收敛性。根据积比测试，我们需要找到一个收敛的p级数来和它比较。因为(n+2)ln(x)x^(n+1)在n趋近于无穷大时比x^n增长得更快，所以我们可以使用一个p级数∑(n=1,∞) x^n来比较它：

lim(n→∞) [(n+2)ln(x)x^(n+1)] / x^n = lim(n→∞) (n+2)ln(x)x / x^n = lim(n→∞) (n+2)ln(x) / x^(n-1) = 0

因此，该级数收敛。接下来，我们可以使用求和公式来计算级数：

∑(n=1,∞) x^(n+2)/(n+2) = -∫(1,x) (t^2/(t+2)) dt

对它进行积分，得到：

∑(n=1,∞) x^(n+2)/(n+2) = -x^2ln(x+2)+2x+2ln(x+2)-4

因此，该级数的和为：

∑(n=1,∞) x^(n+2)/(n+2) = -x^2ln(x+2)+2x+2ln(x+2)-4，其中x>0。

相关问题

nx^(n+2)/(n+2)求和，n从1到正无穷

这是一个无穷级数，可以使用求和公式来解决。首先，我们需要确保级数收敛。可以使用比值测试（ratio test）来证明它的收敛性：

lim(n→∞) |(nx^(n+3))/(n+3)(nx^(n+2))/(n+2)| = lim(n→∞) |x/(n+3)| = 0

因此，级数收敛。接下来，我们可以使用求和公式来计算级数：

∑(n=1,∞) nx^(n+2)/(n+2) = ∑(n=1,∞) x^(n+2) d/dx (n/(n+2))
= x^3 ∑(n=1,∞) d/dx (n/(n+2)) x^n
= x^3 ∑(n=1,∞) (2/(n+2)^2) x^n

最后，我们需要证明该级数的收敛半径为1。可以使用根值测试（root test）来证明：

lim(n→∞) |2/(n+2)^2|^(1/n) = lim(n→∞) 2^(1/n) / (1+2/n) = 1

因此，该级数的收敛半径为1。因为该级数在x=1处不收敛，所以它在(-1,1]内收敛，且在x=-1处发散。因此，该级数的和为：

∑(n=1,∞) nx^(n+2)/(n+2) = x^3 ∑(n=1,∞) (2/(n+2)^2) x^n，其中-1<x≤1。

求幂级数（x^(n+2)）/(n+2)的和函数

这个幂级数的和函数是 -(1/(n+2))*x^(n+1) + C，其中 C 是常数。要证明这个结果，我们可以采用幂级数求和的常见方法，即利用幂级数的积分和导数性质。

首先，我们对幂级数 x^(n+2)/(n+2) 进行积分，得到：

∫(x^(n+2)/(n+2)) dx = x^(n+3)/(n+3) + C1

其中 C1 是常数。接下来，我们对上式两边分别求导，得到：

d/dx (∫(x^(n+2)/(n+2)) dx) = d/dx (x^(n+3)/(n+3) + C1)

x^(n+2)/(n+2) = x^(n+2) + dC1/dx

因为 dC1/dx 是常数，所以我们可以将其记为 C2。于是，我们得到：

x^(n+2)/(n+2) = x^(n+2) + C2

将上式中的 n 替换为 n-2，得到：

x^(n)/(n) = x^(n) + C2

因此，C2 = -(1/n)*x^(n-1)。将 C2 代入前面的式子，得到：

x^(n+2)/(n+2) = x^(n+2) - (1/(n+2))*x^(n+1) + C

其中 C 是常数。将 n 从 0 到正无穷代入上式，得到所求的幂级数的和函数。