求lim┬(n→∞)⁡〖[1+(1 )/n〗+1/n^2 ]^n

可以使用自然对数来求解这个极限，具体步骤如下：

lim┬(n→∞)⁡[1+(1/n)+1/n^2]^n

= lim┬(n→∞)⁡e^(n ln(1+(1/n)+1/n^2))

= e^lim┬(n→∞)⁡(n ln(1+(1/n)+1/n^2))

接下来，我们可以使用泰勒展开式来求解ln(1+x)，即：

ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - ...

当x趋近于0时，其余项可以忽略不计，因此：

ln(1+x) ≈ x

将x=(1/n)+1/n^2代入，得到：

ln(1+(1/n)+1/n^2) ≈ (1/n)+1/n^2

代入原式中，得到：

lim┬(n→∞)⁡[1+(1/n)+1/n^2]^n

= e^lim┬(n→∞)⁡(n ln(1+(1/n)+1/n^2))

≈ e^lim┬(n→∞)⁡(n/n + 1/n^2)

= e^1

因此，极限的值为e。

相关问题

x~χ^2(n),则lim┬n→∞p(x n/√2n≤x)=?

当n趋于无穷大时，根据中心极限定理，我们知道χ^2(n)的分布会趋近于正态分布N(0,1)。设X~N(0,1)，则根据正态分布的性质，我们知道P(X ≤ x) = Φ(x)，其中Φ(x)表示标准正态分布函数。根据题目中的lim┬n→∞p(x n/√2n≤x) = lim┬n→∞P(X ≤ x n/√2n)，在n趋于无穷大时，根据中心极限定理，χ^2(n)的分布会趋近于标准正态分布N(0,1)，因此P(X ≤ x n/√2n)会趋近于Φ(x/√2)。所以，lim┬n→∞p(x n/√2n≤x) = Φ(x/√2)。

以上是对题目的300字中文回答。

-1/（√n+n）的级数

要判断级数的敛散性，我们可以使用比较判别法或根据判别法。

首先，我们可以使用比较判别法，将原级数与一个已知的敛散性的级数进行比较。由于对于所有n≥1，我们有：

0 < √n < √n + n

因此：

| -1 / (√n + n) | < | -1 / √n |

我们知道，级数 ∑ 1/√n 是一个收敛的p级数（其中p=1/2），因此由比较判别法，原级数也是一个收敛的级数。

另外，我们也可以使用根据判别法来判断原级数的敛散性。我们考虑计算原级数的通项的极限值：

lim┬n→∞⁡〖| -1 / (√n + n) |^(1/n) 〗= lim┬n→∞⁡(1 / (√n + n))^(1/n)

我们可以对该极限式子进行变形，得到：

lim┬n→∞⁡(1 / (√n + n))^(1/n) = lim┬n→∞⁡(1 / n(1/2) (1 + 1/n)^(1/n)) = 1

由于该极限值小于1，因此根据根据判别法，原级数是一个收敛的级数。

因此，级数 ∑ (-1 / (√n + n)) 是一个收敛的级数。