求幂级数∞∑n=1（（-1）^n*x^n/n)的和函数并求级数∞∑n=1（-1)^n/n的和

第一个问题：求幂级数∞∑n=1（（-1）^n*x^n/n)的和函数。

该幂级数的通项公式为：a_n = (-1)^n * x^n / n。

我们可以先求出该级数的收敛半径：

根据比值判别法：

lim┬(n→∞)⁡〖|a_(n+1)/a_n|〗=lim┬(n→∞)⁡|(-1)^(n+1) * x^(n+1) / (n+1) * n| / |(-1)^n * x^n / n|

= lim┬(n→∞)⁡|(-1) * x / (n+1)| = 0

因此，该级数的收敛半径为∞，即在整个实数范围内收敛。

接下来，我们可以对该级数进行求和。由于该级数的通项公式为a_n = (-1)^n * x^n / n，我们可以写出该级数的和函数为：

f(x) = ∑┬(n=1)^(∞)⁡〖(-1)^n * x^n / n〗

对其进行求导，得到：

f'(x) = ∑┬(n=1)^(∞)⁡(-1)^n * x^(n-1) = ∑┬(n=0)^(∞)⁡(-1)^n * x^n

该级数在|x|<1时收敛，因此f(x)在该区间内连续可导。我们可以对f'(x)进行求和，得到：

f'(x) = 1/(1+x)

对其进行积分，得到：

f(x) = ln(1+x) + C

由于当x=0时f(x)=0，因此我们可以解出常数C=-ln(2)。

因此，该级数的和函数为：

f(x) = ln(1+x) - ln(2)

第二个问题：求级数∞∑n=1（-1)^n/n的和。

该级数的通项公式为：a_n = (-1)^n / n。

我们可以使用莱布尼茨判别法来判断该级数的收敛性：

当n为偶数时，a_n = 1/n > 0；

当n为奇数时，a_n = -1/n < 0。

因此，该级数是一个交错级数。

由于该级数的通项公式满足单调递减和趋于零的条件，因此该级数收敛。

根据莱布尼茨判别法，该级数的和的绝对值不超过第一项的绝对值，即：

|∑┬(n=1)^(∞)⁡(-1)^n / n| ≤ 1/1 = 1

因此，该级数的和的绝对值不超过1。又因为该级数是交错级数，因此其和的误差不超过其第一项的绝对值，即：

|∑┬(n=1)^(∞)⁡(-1)^n / n - ln(2)| ≤ 1/1 = 1

因此，该级数的和为-ln(2)的近似值，其误差不超过1。