3.将函数f(x)=e^{-x}+ \frac {1}{1-x}展开成x的幂级数.

我们可以使用泰勒级数展开来得到函数f(x)的幂级数形式。首先，我们需要计算函数在x=0处的各阶导数：

f(x) = e^{-x} + \frac{1}{1-x}

f(0) = 1

f'(x) = -e^{-x} + \frac{1}{(1-x)^2}

f'(0) = 1

f''(x) = e^{-x} + \frac{2}{(1-x)^3}

f''(0) = 1

f'''(x) = -e^{-x} + \frac{6}{(1-x)^4}

f'''(0) = -1

由此可知，函数在x=0处的泰勒级数展开形式为：

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n

即：

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \cdot e^{-x}

这就是函数f(x)的幂级数展开形式。

相关问题

用泰勒级数展开计算ex，估算公式如下：用泰勒级数展开计算，估算公式如下： 误差小于 10^-6,并调用库函数验证算法正确性。 输入样例： 2.05 输出样例： 使用泰勒级数计算的e^2.05=1.123456 使用库函数exp计算的e^2.05=1.123456

要使用泰勒级数计算 \( e^x \) 的近似值，我们需要基于自然对数 \( e \) 的定义和泰勒展开式。泰勒级数通常形式为：

\[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n \]

对于 \( e^x \)，其初始点 \( a = 0 \)，\( f(x) = e^x \)，并且所有的导数都是 \( f'(x) = f''(x) = f'''(x) = ... = e^x \)。所以我们可以得到：

\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + ... \]

为了估算 \( e^2.05 \)，我们只需要取足够多的项直到满足误差要求 \( 10^{-6} \)。以下是逐步步骤：

1. 初始化结果变量 \( result \) 为 \( e^0 = 1 \)。
2. 对于 \( n \) 从 1 到某个上限（比如 100），依次计算 \( \frac{(2.05)^n}{n!} \) 并加到 \( result \) 上。
3. 计算完成后，如果 \( |result - e^2.05| < 10^{-6} \)，则认为结果有效。

由于你提到要使用库函数验证，大部分编程语言都有内置的数学库（如Python的math.exp()、Java的Math.exp()等）可以直接计算 \( e^x \)，所以我们也可以直接调用这些函数作为标准来检查我们的计算是否准确。

示例代码（Python）：

import math

# 输入值
x = 2.05

# 使用泰勒级数计算，最多取50项（假设足够精确）
taylor_sum = 1.0
term = x
for i in range(2, 51):
    term *= x / i
    taylor_sum += term

# 库函数计算
library_result = math.exp(x)

# 验证误差
if abs(taylor_sum - library_result) < 1e-6:
    print(f"使用泰勒级数计算的e^{x}= {taylor_sum:.7f}")
else:
    print("泰勒级数计算的结果有误")

print(f"使用库函数exp计算的e^{x}= {library_result:.7f}")

用复合梯形法递推算式计算积分y=(1-exp(-x)).^0.5/x 使误差不超过10-4（注意所给积分特点，在作出相应处理后再计算）。

好的，我了解了您的问题。首先，我们需要根据复合梯形法的公式来递推计算积分：

$I=\int_{a}^{b}f(x)dx\approx \frac{h}{2}\left[f(a)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(a+ih)+f(b)\right]$

其中，$h=\frac{b-a}{n}$，$n$ 为区间被分成的小区间数目。

对于特定的积分 $y=(1-e^{-x})^{0.5}/x$，我们可以将其改写为：

$y=\frac{(1-e^{-x})^{0.5}}{x}=\frac{1}{x}\cdot \frac{(1-e^{-x})}{(1-e^{-x})^{0.5}}$

然后，我们可以对 $\frac{(1-e^{-x})}{(1-e^{-x})^{0.5}}$ 进行泰勒展开：

$\frac{(1-e^{-x})}{(1-e^{-x})^{0.5}}=2-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}+O(x^4)$

将其代入原积分式，得到：

$y=\frac{1}{x}\cdot\left(2-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}+O(x^4)\right)$

因此，我们可以使用复合梯形法递推计算积分，具体步骤如下：

1. 将积分区间 $[a,b]$ 分成 $n$ 个小区间，其中 $n$ 可以根据误差要求进行确定。

2. 根据公式计算每个小区间的积分值。

3. 将这些积分值相加，得到整个积分的近似值。

4. 计算误差，若误差满足要求，则输出近似值；否则，将 $n$ 增大后重新计算。

下面是 MATLAB 代码实现：

function [I, n] = composite_trapezoidal(f, a, b, tol)
% 复合梯形法计算积分，使误差不超过 tol
% 输入：f - 被积函数，a, b - 积分区间，tol - 允许误差
% 输出：I - 积分近似值，n - 划分的小区间数目

n = 1;
h = (b - a) / n;
I = h / 2 * (f(a) + f(b)); % 初始值

while true
    % 计算每个小区间的积分值
    for i = 1:n - 1
        x = a + i * h;
        I = I + h * f(x);
    end
    
    % 计算误差
    I1 = I;
    n = n * 2;
    h = (b - a) / n;
    I = h / 2 * (f(a) + f(b));
    for i = 1:n - 1
        x = a + i * h;
        I = I + h * f(x);
    end
    err = abs(I - I1);
    
    % 若误差小于 tol，则输出结果
    if err < tol
        break;
    end
end

将 $f(x)$ 定义为 $\frac{1}{x}\cdot\left(2-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}\right)$，然后调用 `composite_trapezoidal` 函数即可计算积分。