3.将函数f(x)=e^{-x}+ \frac {1}{1-x}展开成x的幂级数.
时间: 2024-05-26 19:17:30 浏览: 14
我们可以使用泰勒级数展开来得到函数f(x)的幂级数形式。首先,我们需要计算函数在x=0处的各阶导数:
f(x) = e^{-x} + \frac{1}{1-x}
f(0) = 1
f'(x) = -e^{-x} + \frac{1}{(1-x)^2}
f'(0) = 1
f''(x) = e^{-x} + \frac{2}{(1-x)^3}
f''(0) = 1
f'''(x) = -e^{-x} + \frac{6}{(1-x)^4}
f'''(0) = -1
由此可知,函数在x=0处的泰勒级数展开形式为:
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n
即:
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \cdot e^{-x}
这就是函数f(x)的幂级数展开形式。
相关问题
求x(-1/2t+1)的傅里叶变换
根据傅里叶变换的定义,函数 $f(x)$ 的傅里叶变换为:
$$
F(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-ikx}dx
$$
对于 $x(-\frac{1}{2}t+1)$,我们可以把它看作是 $f(x)$,代入傅里叶变换公式中,得到:
$$
\begin{aligned}
F(k) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} x(-\frac{1}{2}t+1)e^{-ikx}dx \\
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} x(-\frac{1}{2}t+1)\cos(kx)dx - i\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} x(-\frac{1}{2}t+1)\sin(kx)dx
\end{aligned}
$$
其中,我们将 $e^{-ikx}$ 展开成 $\cos(kx)-i\sin(kx)$ 的形式,并且使用了傅里叶变换的欧拉公式。
对于第一个积分,我们可以使用分部积分法进行求解,令 $u=x$,$dv=(-\frac{1}{2}t+1)\cos(kx)dx$,则 $du=dx$,$v=\frac{1}{k}(-\frac{1}{2}t+1)\sin(kx)$,代入公式中得:
$$
\begin{aligned}
\int_{-\infty}^{\infty} x(-\frac{1}{2}t+1)\cos(kx)dx &= \frac{1}{k}\left[x(-\frac{1}{2}t+1)\sin(kx)\right]_{-\infty}^{\infty} - \frac{1}{k}\int_{-\infty}^{\infty} \sin(kx)dx \\
&= -\frac{1}{k}\left[\cos(kx)\right]_{-\infty}^{\infty} \\
&= 0
\end{aligned}
$$
因为 $\cos(kx)$ 是一个偶函数,积分区间是关于 $0$ 对称的,所以 $\cos(kx)$ 在整个积分区间上的积分是 $0$。
对于第二个积分,我们同样可以使用分部积分法进行求解,令 $u=x$,$dv=(-\frac{1}{2}t+1)\sin(kx)dx$,则 $du=dx$,$v=-\frac{1}{k}(-\frac{1}{2}t+1)\cos(kx)$,代入公式中得:
$$
\begin{aligned}
\int_{-\infty}^{\infty} x(-\frac{1}{2}t+1)\sin(kx)dx &= -\frac{1}{k}\left[x(-\frac{1}{2}t+1)\cos(kx)\right]_{-\infty}^{\infty} + \frac{1}{k}\int_{-\infty}^{\infty} \cos(kx)dx \\
&= \frac{1}{k}\left[\sin(kx)\right]_{-\infty}^{\infty} \\
&= 0
\end{aligned}
$$
因为 $\sin(kx)$ 是一个奇函数,积分区间是关于 $0$ 对称的,所以 $\sin(kx)$ 在整个积分区间上的积分是 $0$。
综上所述,$x(-\frac{1}{2}t+1)$ 的傅里叶变换为 $0$。
用复合梯形法递推算式计算积分y=(1-exp(-x)).^0.5/x 使误差不超过10-4(注意所给积分特点,在作出相应处理后再计算)。
好的,我了解了您的问题。首先,我们需要根据复合梯形法的公式来递推计算积分:
$I=\int_{a}^{b}f(x)dx\approx \frac{h}{2}\left[f(a)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(a+ih)+f(b)\right]$
其中,$h=\frac{b-a}{n}$,$n$ 为区间被分成的小区间数目。
对于特定的积分 $y=(1-e^{-x})^{0.5}/x$,我们可以将其改写为:
$y=\frac{(1-e^{-x})^{0.5}}{x}=\frac{1}{x}\cdot \frac{(1-e^{-x})}{(1-e^{-x})^{0.5}}$
然后,我们可以对 $\frac{(1-e^{-x})}{(1-e^{-x})^{0.5}}$ 进行泰勒展开:
$\frac{(1-e^{-x})}{(1-e^{-x})^{0.5}}=2-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}+O(x^4)$
将其代入原积分式,得到:
$y=\frac{1}{x}\cdot\left(2-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}+O(x^4)\right)$
因此,我们可以使用复合梯形法递推计算积分,具体步骤如下:
1. 将积分区间 $[a,b]$ 分成 $n$ 个小区间,其中 $n$ 可以根据误差要求进行确定。
2. 根据公式计算每个小区间的积分值。
3. 将这些积分值相加,得到整个积分的近似值。
4. 计算误差,若误差满足要求,则输出近似值;否则,将 $n$ 增大后重新计算。
下面是 MATLAB 代码实现:
```
function [I, n] = composite_trapezoidal(f, a, b, tol)
% 复合梯形法计算积分,使误差不超过 tol
% 输入:f - 被积函数,a, b - 积分区间,tol - 允许误差
% 输出:I - 积分近似值,n - 划分的小区间数目
n = 1;
h = (b - a) / n;
I = h / 2 * (f(a) + f(b)); % 初始值
while true
% 计算每个小区间的积分值
for i = 1:n - 1
x = a + i * h;
I = I + h * f(x);
end
% 计算误差
I1 = I;
n = n * 2;
h = (b - a) / n;
I = h / 2 * (f(a) + f(b));
for i = 1:n - 1
x = a + i * h;
I = I + h * f(x);
end
err = abs(I - I1);
% 若误差小于 tol,则输出结果
if err < tol
break;
end
end
```
将 $f(x)$ 定义为 $\frac{1}{x}\cdot\left(2-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}\right)$,然后调用 `composite_trapezoidal` 函数即可计算积分。