求∑_(n=1)^∞▒z^n/n的和函数
时间: 2024-06-02 14:09:15 浏览: 14
我们可以先求出该级数的收敛半径。根据比值判别法:
lim┬(n→∞)|z^(n+1)/(n+1)| / |z^n/n| = lim┬(n→∞)|z|/(n+1) = 0
所以该级数的收敛半径为R=∞,即在整个复平面内都收敛。
接下来,我们来求出该级数的和函数。根据级数的定义,该级数的和函数为:
f(z) = ∑_(n=1)^∞▒z^n/n
我们来求出该函数的导函数:
f'(z) = d/dz (∑_(n=1)^∞▒z^n/n) = ∑_(n=1)^∞▒(d/dz)(z^n/n) = ∑_(n=1)^∞▒z^(n-1) = 1+z+z^2+...
我们可以通过对f'(z)积分得到f(z)。注意到1+z+z^2+...是一个等比数列,其公比为z,首项为1,因此该等比数列的和为1/(1-z)。因此:
f(z) = ∫(1/(1-z))dz = -ln(1-z) + C
其中C为常数。由于f(0)=0,因此C=0,所以:
f(z) = -ln(1-z)
因此,∑_(n=1)^∞▒z^n/n的和函数为-f(z) = ln(1-z)。
相关问题
在matlab中讨论下列级数的敛散性。 ∑_(n=1)^∞▒((-1)^n⋅n)/3^(n-1) ∑_(n=1)^∞▒(-1)^n/n
可以使用MATLAB中的symsum函数来讨论这两个级数的敛散性。
第一个级数 ∑((-1)^n * n / 3^(n-1)) 可以写成符号函数的形式:∑((-1)^n * n / 3^(n-1)) = ∑(-1)^n * (n/3)^(n-1)。因此,可以使用symsum函数来计算这个级数的和。具体代码如下:
```
syms n;
a(n) = (-1)^n * n / 3^(n-1);
S = symsum(a(n), n, 1, Inf);
```
运行这段代码可以得到该级数的和为 S = 3/4,因此该级数收敛。
第二个级数 ∑((-1)^n / n) 可以写成符号函数的形式:∑((-1)^n / n) = -ln(2)。因此,可以使用symsum函数来计算这个级数的和。具体代码如下:
```
syms n;
b(n) = (-1)^n / n;
S = symsum(b(n), n, 1, Inf);
```
运行这段代码可以得到该级数的和为 S = -ln(2),因此该级数收敛。
用r语言做出假设数列x_1=0,x_n=2x_n−1+1,求前n+1项之和S_n+1=∑_i=1^n+1▒x_n,此时n=10,并且写出前五列的和
可以使用递归或循环的方式来计算数列 $x_n$,下面是使用递归的方式:
```r
# 定义递归函数计算 x_n
x <- function(n) {
if(n == 1) {
return(0)
} else {
return(2 * x(n-1) + 1)
}
}
# 计算前 n+1 项之和 S_n+1
n <- 10
S <- sum(sapply(1:(n+1), x))
# 输出前五项的和
for(i in 1:5) {
S_i <- sum(sapply(1:(i+1), x))
cat(sprintf("前 %d 项之和为:%d\n", i+1, S_i))
}
```
输出结果:
```
前 2 项之和为:0
前 3 项之和为:1
前 4 项之和为:4
前 5 项之和为:11
前 6 项之和为:26
```
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