L(A∗ k+1, Ek ∗ +1, Yk ∗ , µk) = min A,E L(A, E, Yk ∗ , µk) ≤ min A+E=D L(A, E, Yk ∗ , µk) = min A+E=D (k Ak ∗ + λk Ek 1) = f ∗ ,这个不等式怎么证明的?
时间: 2023-12-27 07:05:24 浏览: 24
这个不等式是通过以下步骤证明的:
1. 首先,我们有 $L(A^{*}_{k+1}, E^{*}_{k+1}, Y^{*}_{k}, \mu_k) \leq L(A, E, Y^{*}_{k}, \mu_k)$,其中 $A^{*}_{k+1}, E^{*}_{k+1}$ 是最优解,$Y^{*}_{k}$ 是固定的,$\mu_k$ 是给定的。
2. 接着,我们可以将 $A$ 和 $E$ 分别表示为 $A = D - E$ 和 $E = D - A$,其中 $D$ 是一个常数。
3. 我们将上一步中的 $A$ 和 $E$ 代入不等式 $L(A, E, Y^{*}_{k}, \mu_k) \leq L(A^{*}_{k+1}, E^{*}_{k+1}, Y^{*}_{k}, \mu_k)$ 中,得到 $L(D-E, E, Y^{*}_{k}, \mu_k) \leq L(A^{*}_{k+1}, E^{*}_{k+1}, Y^{*}_{k}, \mu_k)$。
4. 我们注意到 $L(D-E, E, Y^{*}_{k}, \mu_k) = L(A^{*}_{k+1}+E^{*}_{k+1}-D, D-E^{*}_{k+1}, Y^{*}_{k}, \mu_k)$,因为 $A^{*}_{k+1}+E^{*}_{k+1}-D = D - (D-A^{*}_{k+1}-E^{*}_{k+1}) = D - E^{*}_{k+1}$。
5. 将上一步得到的等式代入 $L(D-E, E, Y^{*}_{k}, \mu_k) \leq L(A^{*}_{k+1}, E^{*}_{k+1}, Y^{*}_{k}, \mu_k)$ 中,得到 $L(D-E^{*}_{k+1}, E^{*}_{k+1}, Y^{*}_{k}, \mu_k) \leq L(A^{*}_{k+1}, E^{*}_{k+1}, Y^{*}_{k}, \mu_k)$。
6. 我们知道 $L(A, E, Y^{*}_{k}, \mu_k)$ 是关于 $A$ 和 $E$ 的凸函数,因此 $L(D-E^{*}_{k+1}, E^{*}_{k+1}, Y^{*}_{k}, \mu_k) \geq L(kA^{*}_{k}+\lambda_kE^{*}_{1}, (1-k)A^{*}_{k}+\lambda_kE^{*}_{1}, Y^{*}_{k}, \mu_k)$,其中 $\lambda_k = D/k$。
7. 最后,我们注意到 $kA^{*}_{k}+\lambda_kE^{*}_{1} + (1-k)A^{*}_{k}+\lambda_kE^{*}_{1} = D$,因此 $L(kA^{*}_{k}+\lambda_kE^{*}_{1}, (1-k)A^{*}_{k}+\lambda_kE^{*}_{1}, Y^{*}_{k}, \mu_k) = L(D-E^{*}_{k+1}, E^{*}_{k+1}, Y^{*}_{k}, \mu_k)$。
8. 将上一步得到的等式代入 $L(D-E^{*}_{k+1}, E^{*}_{k+1}, Y^{*}_{k}, \mu_k) \geq L(kA^{*}_{k}+\lambda_kE^{*}_{1}, (1-k)A^{*}_{k}+\lambda_kE^{*}_{1}, Y^{*}_{k}, \mu_k)$ 中,得到 $L(D-E^{*}_{k+1}, E^{*}_{k+1}, Y^{*}_{k}, \mu_k) \geq f^{*}$,其中 $f^{*}$ 是一个常数。
因此,我们得到了不等式 $L(A^{*}_{k+1}, E^{*}_{k+1}, Y^{*}_{k}, \mu_k) \geq f^{*}$,证毕。