复合函数求导法则推导过程
时间: 2023-11-01 15:08:14 浏览: 66
假设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都是可导的函数,$y=f(u)$,其中 $u=g(x)$,则 $y$ 是 $x$ 的复合函数。我们要求解 $y$ 对 $x$ 的导数 $\frac{dy}{dx}$。
根据链式法则,$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$。
现在我们来分别求解 $\frac{dy}{du}$ 和 $\frac{du}{dx}$。
1. 求解 $\frac{dy}{du}$
根据导数的定义,$\frac{dy}{du}=\lim_{\Delta u\to0}\frac{\Delta y}{\Delta u}$。
当 $\Delta u\to0$ 时,$\Delta y=f(u+\Delta u)-f(u)$。
将 $u+\Delta u$ 代入 $y=f(u)$,得到 $y=f(u+\Delta u)$。
因此,$\Delta y=f(u+\Delta u)-f(u)=y(u+\Delta u)-y(u)$。
将 $\Delta y$ 代入导数的定义中,得到:
$$
\frac{dy}{du}=\lim_{\Delta u\to0}\frac{y(u+\Delta u)-y(u)}{\Delta u}
$$
2. 求解 $\frac{du}{dx}$
同理,$\frac{du}{dx}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta u}{\Delta x}$。
当 $\Delta x\to0$ 时,$\Delta u=g(x+\Delta x)-g(x)$。
将 $\Delta u$ 代入 $u=g(x)$,得到 $u=g(x+\Delta x)$。
因此,$\Delta u=g(x+\Delta x)-g(x)=u(x+\Delta x)-u(x)$。
将 $\Delta u$ 代入导数的定义中,得到:
$$
\frac{du}{dx}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}
$$
3. 求解 $\frac{dy}{dx}$
将 $\frac{dy}{du}$ 和 $\frac{du}{dx}$ 代入 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$,得到:
$$
\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{y(u+\Delta u)-y(u)}{\Delta u}\cdot\lim_{\Delta x\to0}\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}
$$
因为 $u=g(x)$,所以:
$$
\lim_{\Delta x\to0}\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}=\frac{du}{dx}
$$
因此,上式可以简化为:
$$
\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta u\to0}\frac{y(u+\Delta u)-y(u)}{\Delta u}\cdot\frac{du}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}
$$
这就是复合函数求导法则的推导过程。