pta7-8 哥德巴赫猜想

### PTA 7-8 哥德巴赫猜想 编程实现

#### 题目大意
给定一个偶数 \( n \)，验证哥德巴赫猜想：任何大于2的偶数都可以表示成两个素数之和。程序需输入一个正整数 \( N (N<10^6) \)，并输出该范围内所有满足条件的偶数及其对应的两素数组合。

#### 解题思路
为了有效解决问题，可以采用如下策略：

- **预处理**：预先计算一定范围内的所有素数，并存储在一个列表中以便快速查找。
- **遍历求解**：对于每一个待检验的偶数，在预存的素数表里寻找符合条件的一对素数[^1]。

#### 代码思路
下面是一个简单的Python实现方案，包括了基本逻辑结构：

def sieve_of_eratosthenes(limit):
    primes = []
    is_prime = [True] * (limit + 1)
    p = 2
    
    while p * p <= limit:
        if is_prime[p]:
            for i in range(p * p, limit + 1, p):
                is_prime[i] = False
        p += 1
        
    for p in range(2, limit + 1):
        if is_prime[p]:
            primes.append(p)

    return primes


def goldbach_conjecture(n):
    results = {}
    
    # 获取小于等于n的所有质数
    prime_numbers = sieve_of_eratosthenes(n)

    for num in range(4, n + 1, 2):  # 只考虑偶数
        found = False
        for prime in prime_numbers:
            if prime >= num / 2 and not found:
                break
                
            partner = num - prime
            
            if partner in set(prime_numbers):
                results[num] = (prime, partner)
                found = True
                
    return results


if __name__ == "__main__":
    N = int(input())
    result_dict = goldbach_conjecture(N)
    
    for key, value in sorted(result_dict.items()):
        print(f"{key}={value[0]}+{value[1]}")

此段代码首先定义了一个埃拉托斯特尼筛法来获取指定上限内所有的素数，接着通过`goldbach_conjecture()`函数实现了针对每个偶数找到其作为两个素数之和的具体情况。

#### 核心技术总结
本题的核心在于高效地找出特定区间内的全部素数，并能够迅速判断某个数值是否为素数。这里采用了经典的埃拉托斯特尼筛法来进行初步筛选，大大提高了后续运算效率。

#### 存在的问题及解决方案
最初尝试直接在线性时间内逐一检测各偶数能否分解为两个素数相加的形式时遇到了性能瓶颈。后来改为先利用埃氏筛一次性获得大量素数后再做匹配，则显著改善了解决速度与资源消耗状况。