C语言 递归求解双递推摆动数列 a(1)=1,a(2i)=a(i)+1,a(2i+1)=a(i)+a(i+1) (i为正整数） 试建立递归，求该数列的第n（n<100000)项与前n项之和。

双递推数列的递归式为：

a(1) = 1
a(2i) = a(i) + 1
a(2i+1) = a(i) + a(i+1)

首先可以写出求第n项的递归函数：

int swing(int n) {
    if (n == 1) {
        return 1;
    } else if (n % 2 == 0) {
        return swing(n / 2) + 1;
    } else {
        int i = (n - 1) / 2;
        return swing(i) + swing(i + 1);
    }
}

然后可以在求第n项的基础上，写出求前n项和的递归函数：

int swing_sum(int n) {
    if (n == 1) {
        return 1;
    } else if (n % 2 == 0) {
        int i = n / 2;
        return swing_sum(i) + i + 1;
    } else {
        int i = (n - 1) / 2;
        return swing_sum(i) + swing_sum(i + 1) + swing(n);
    }
}

注意，前n项和的计算中，当n为偶数时，需要特别处理，因为最后一项为a(n/2) + 1，而不是a(n)。

相关问题

3. 递归求解双递推摆动数列 a(1)=1,a(2i)=a(i)+1,a(2i+1)=a(i)+a(i+1) (i为正整数）

### 回答1：
我们可以通过递归来求解双递推摆动数列。具体方法如下：

首先，我们可以通过递归定义函数 `get_a(n)` 来求解第 n 个数列值。

然后，我们需要根据题目中的双递推公式，递归计算前两个数列值：

- a(1) = 1
- a(2) = a(1) + 1 = 2

接下来，我们可以使用递归公式 a(2i) = a(i) + 1 和 a(2i+1) = a(i) + a(i+1) 来计算后续的数列值。

具体地，我们可以使用以下递归公式：

- 当 n 为偶数时，a(n) = a(n/2) + 1
- 当 n 为奇数时，a(n) = a((n-1)/2) + a((n+1)/2)

最终，我们可以得到求解双递推摆动数列的递归函数 `get_a(n)` 的实现如下：

def get_a(n):
    if n == 1:
        return 1
    elif n == 2:
        return 2
    elif n % 2 == 0:
        return get_a(n // 2) + 1
    else:
        i = (n - 1) // 2
        return get_a(i) + get_a(i + 1)

我们可以通过调用 `get_a(n)` 函数来获取第 n 个数列值，例如：

print(get_a(1))  # 1
print(get_a(2))  # 2
print(get_a(3))  # 2
print(get_a(4))  # 3
print(get_a(5))  # 4
print(get_a(6))  # 4
print(get_a(7))  # 5
print(get_a(8))  # 5
print(get_a(9))  # 6

这样，我们就可以使用递归来求解双递推摆动数列了。

### 回答2：
双递推摆动数列是指满足递推关系 a(1)=1, a(2i)=a(i)+1, a(2i+1)=a(i)-a(i-1) 的数列。求解双递推摆动数列可以使用递归的方法。

我们可以定义一个递归函数 calc(n) 来求出 a(n) 的值。在 calc(n) 函数中，我们需要考虑边界情况，即当 n=1 时，返回 1。对于其他情况，我们可以根据递推关系继续递归求解。

具体的递归过程可以描述如下：
1. 如果 n=1，返回 1；
2. 如果 n 是偶数，即 n=2i，那么 a(n) = a(i) + 1；
3. 如果 n 是奇数，即 n=2i+1，那么 a(n) = a(i) - a(i-1)。

以下是用递归方法求解双递推摆动数列的代码示例：

def calc(n):
    if n == 1:
        return 1
    if n % 2 == 0:
        return calc(n // 2) + 1
    else:
        return calc(n // 2) - calc(n // 2 - 1)

n = 6
result = calc(n)
print(f"The value of a({n}) is {result}.")

在上述代码中，我们假设要求解 a(6) 的值，然后调用 calc(6) 函数来计算。最终输出结果为 a(6) 的值。

递归求解双递推摆动数列的时间复杂度为 O(log(n))，因为每次递归都将问题规模缩小一半。

### 回答3：
双递推摆动数列是一个特殊的数列，根据给定的递推关系可以使用递归的方式来求解。

根据递推关系 a(1)=1, a(2i)=a(i), a(2i+1)=a(i)*a(i-1)，可以先考虑递归的边界条件，即当 i=1 时，a(1)=1。然后在递归的过程中，根据递推关系不断的向下计算每个位置的值。

递归求解双递推摆动数列的步骤如下：
1. 如果 i=1，返回 1。
2. 如果 i 是偶数，那么 a(i) = a(i/2)。
3. 如果 i 是奇数，那么 a(i) = a(i/2) * a(i/2-1)。这里的 a(i/2-1) 就表示在递推关系中 a(i-1) 的值。

通过递归调用，我们可以不断地递归计算出每个位置的值，直到达到边界条件停止递归。

例如，求解 a(5) 的值的过程如下：
a(5) = a(2) * a(1) = a(1) = 1。
因此，a(5) 的值为 1。

同样地，我们可以求解出其他位置上的值，从而得到完整的双递推摆动数列。

需要注意的是，虽然递归方法是一种解题思路，但是在实际计算过程中，递归的效率可能会比较低。因此，可以考虑使用其他更高效的方法来求解双递推摆动数列。

递归求解双递推摆动数列 a(1)=1,a(2i)=a(i)+1,a(2i+1)=a(i)+a(i+1) (i为正整数） 试建立递归，求该数列的第n（n<100000)项与前n项之和。C语言 含注释

以下是递归求解双递推摆动数列的 C 语言代码，同时包括了第 n 项和前 n 项之和的计算。注释中有详细解释。

#include <stdio.h>

int a[100000]; // 定义一个数组存储数列的值

// 递归函数，计算第 n 项
int calc_nth(int n) {
    if (n == 1) {
        return 1;
    } else if (n % 2 == 0) {
        return calc_nth(n / 2) + 1;
    } else {
        return calc_nth((n - 1) / 2) + calc_nth((n + 1) / 2);
    }
}

// 递归函数，计算前 n 项之和
int calc_sum(int n) {
    if (n == 0) {
        return 0;
    } else {
        return a[n] + calc_sum(n - 1);
    }
}

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);

    a[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (i % 2 == 0) {
            a[i] = a[i / 2] + 1;
        } else {
            a[i] = a[(i - 1) / 2] + a[(i + 1) / 2];
        }
    }

    printf("第%d项的值为：%d\n", n, calc_nth(n));
    printf("前%d项之和为：%d\n", n, calc_sum(n));

    return 0;
}

需要注意的是，由于这个数列的项数最大可以达到 100000，因此需要使用数组来存储每一项的值。同时，为了避免重复计算，我们在计算第 n 项的同时也计算出了前 n 项之和，并且在计算前 n 项之和时直接使用了数组中已经计算好的值。