用matlab写文件中的proximal gradient 作业

好的，根据您提供的文档内容，以下是使用 MATLAB 实现 Proximal Gradient 方法的一个示例代码。这个例子假设我们要解决一个具体的优化问题，例如恢复国际象棋棋盘的问题。

### 示例：恢复国际象棋棋盘

假设我们有一个部分损坏的国际象棋棋盘图像，并且我们需要通过 Proximal Gradient 方法来恢复它。

#### 1. 定义目标函数和梯度
假设我们的目标函数是 \( f(x) \)，并且我们有一个正则化项 \( g(x) \)。常见的形式可以是：

\[ f(x) = \frac{1}{2} \| Ax - b \|^2 \]
\[ g(x) = \lambda \| x \|_1 \]

其中，\( A \) 是观测矩阵，\( b \) 是观测向量，\( \lambda \) 是正则化参数。

#### 2. 计算梯度
目标函数 \( f(x) \) 的梯度为：

\[ \nabla f(x) = A^T (Ax - b) \]

#### 3. 近端映射
近端映射 \( \text{prox}_{\gamma g}(y) \) 对于 \( g(x) = \lambda \| x \|_1 \) 可以表示为软阈值操作：

\[ \text{prox}_{\gamma g}(y) = \text{sign}(y) \max(|y| - \gamma \lambda, 0) \]

#### 4. Proximal Gradient 算法
以下是一个简单的 MATLAB 实现：

function [x] = proximal_gradient(A, b, lambda, max_iter, tol)
    % 初始化变量
    n = size(A, 2);
    x = zeros(n, 1); % 初始解
    L = norm(A, 'fro')^2; % Lipschitz 常数估计
    gamma = 1 / L;

    for iter = 1:max_iter
        % 计算梯度
        grad_f = A' * (A * x - b);

        % 更新步
        y = x - gamma * grad_f;

        % 近端映射
        x_new = sign(y) .* max(abs(y) - gamma * lambda, 0);

        % 检查收敛条件
        if norm(x_new - x, 'fro') < tol
            break;
        end

        x = x_new;
    end
end

#### 5. 使用示例
假设我们有部分损坏的棋盘图像数据 `b` 和对应的观测矩阵 `A`，我们可以调用上述函数进行恢复：

% 生成模拟数据
n = 64; % 棋盘大小
A = randn(100, n^2); % 观测矩阵
true_x = reshape([ones(n^2/2, 1); -ones(n^2/2, 1)], n^2, 1); % 真实棋盘图像（黑白交替）
b = A * true_x + 0.1 * randn(size(A, 1), 1); % 加入噪声的观测

% 参数设置
lambda = 0.1; % 正则化参数
max_iter = 1000; % 最大迭代次数
tol = 1e-5; % 收敛容差

% 调用 Proximal Gradient 算法
recovered_x = proximal_gradient(A, b, lambda, max_iter, tol);

% 显示结果
figure;
subplot(1, 3, 1);
imagesc(reshape(true_x, n, n));
title('True Chess Board');
colorbar;

subplot(1, 3, 2);
imagesc(reshape(b, sqrt(size(A, 1)), sqrt(size(A, 1))));
title('Observation');
colorbar;

subplot(1, 3, 3);
imagesc(reshape(recovered_x, n, n));
title('Recovered Chess Board');
colorbar;

这个示例展示了如何使用 Proximal Gradient 方法来恢复一个部分损坏的国际象棋棋盘图像。您可以根据具体问题调整参数和数据。希望这能帮助到您！