1.证明如果A和B 是集合，A是不可数的，并且A含于B，则B是不可数的。 2.证明任意可数集的子集也是可数集合 3.证明：两个可数集合的并仍然是可数的（任意有限个可数集合并也是 可数的）4. 假设A是一个无限集，证明一定存在 A的真子集跟 A 同基数。4

. 证明：假设A是一个无限集，那么A可以与自己的一个真子集B建立一一对应关系。因为B是A的真子集，所以B的基数小于A的基数，但是由于A与B可以建立一一对应关系，所以它们的基数相等。因此，存在A的真子集与A同基数。

相关问题

证明如果A和B 是集合，A是不可数的，并且A含于B，则B是不可数的

### 回答1：
假设B是可数的，则存在一个双射f: N -> B，其中N是自然数集。由于A含于B，我们可以将f限制为f': N' -> A，其中N'是f的定义域中与A对应的自然数集。

由于A是不可数的，不存在从N'到A的双射。因此，f'不可能是一个双射，因为它的定义域N'与它的值域A之间没有一一对应的关系。这与f是一个双射相矛盾。

因此，假设B可数是错误的。因此，如果A是不可数的，并且A含于B，则B也是不可数的。

### 回答2：
要证明如果A是不可数的并且A包含于B，则B是不可数的，我们可以使用反证法。

首先，假设B是可数的。那么根据可数集的定义，我们可以给B中的元素编号，记作B = {b1, b2, b3, ...}。

由于A包含于B，所以A中的元素也包含于B中。我们假设A中的元素个数是n，记作A = {a1, a2, ..., an}。

接下来，我们构造一个新的集合C，C = {a1, b1, a2, b2, ..., an, bn}，即将A和B中的元素交替排列。

现在我们来考虑C的情况。根据构造方式，我们可以看出C是由A和B中的元素组成的，而且C的元素个数也是n。因此，C是一个有限集。

然而，我们已知A是一个不可数的集合，而C作为A的子集，其元素个数是有限的。这与A不可数的性质相矛盾。

因此，假设B是可数的这一假设是不成立的。所以B必须是不可数的。

综上所述，如果A是不可数的并且A包含于B，则B是不可数的。

### 回答3：
要证明如果A是不可数的并且A包含于B，那么B也是不可数的，我们可以通过反证法来证明。

假设B是可数的，即存在一个可数集合N和一个从N到B的一一对应关系。我们可以将B中的元素按照这个对应关系与N中元素进行对应。

由于A包含于B，所以B中的每个元素都必须在A中存在一个对应的元素。我们将这个对应的元素从A中取出来，并将其与B中对应的元素一一对应。

由于A是不可数的，所以剩余在A中的元素仍然是不可数的。我们将这些剩余的元素加入到N中，并与B中对应的元素一一对应。

这样，我们就构建出了一个从N到B的一一对应关系。但是根据Cantor对角线论证可知，不存在从自然数集合N到实数集合的一一对应关系，即实数集合是不可数的。

因此，假设B是可数的的假设是错误的。根据反证法，我们可以得出结论：如果A是不可数的并且A包含于B，那么B也是不可数的。

证明实数集合是不可数集合

要证明实数集合是不可数集合，我们可以使用Cantor对角线论证法。

首先，我们假设实数集合是可数的，即可以用自然数集合一一对应。设实数集合为 {a1, a2, a3, …}，我们可以将每个实数表示为一个无限长的十进制小数。

接下来，我们构造一个新的实数b，这个实数在第n位上的数字是a(n,n)+1（a(n,n)表示a(n)的第n位数字），也就是说，我们将对角线上的数字加1。例如，如果a(1) = 0.1234…，那么b的第一个数字就是1；如果a(2) = 1.41421356…，那么b的第二个数字就是5。

现在我们将b与实数集合中的所有实数进行比较。由于b在每一位上都与任意一个实数不同，因此b不可能与实数集合中的任何一个实数相等。这意味着我们找到了一个实数，它不在实数集合中，因此实数集合不是可数的。

综上所述，实数集合是不可数集合。