证明x，y趋近于0（1+xy）^（1/x+y）的极限不存在

要证明极限不存在，我们可以采用反证法。

假设当x和y趋近于0时，极限存在，记该极限为L。那么对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当0< |x| < δ且 0< |y| < δ 时，有

| (1+xy)^(1/(x+y)) - L | < ε

我们取x= y = 1/n（n是正整数），那么当n趋近于无穷大时，x和y都趋近于0。由于极限存在，所以对于上式中的δ，存在一个正整数N，使得当n>N时，有

| (1+1/n^2)^(n/(2/n)) - L | < ε

即

| (1+1/n^2)^(n/2) - L | < ε

我们令x_n = (1+1/n^2)^(n/2)，那么x_n的极限是e^(1/2)，即

lim (n->∞) (1+1/n^2)^(n/2) = e^(1/2)

因此，我们可以找到一个子序列{x_n}满足

lim (n->∞) x_n = e^(1/2) ≠ L

这与假设的极限存在矛盾，因此我们得证，当x和y趋近于0时，(1+xy)^(1/(x+y))的极限不存在。

相关问题

x，y趋近于0（1+xy）^（1/x+y）的极限

这是一个典型的极限问题，可以使用自然对数和泰勒公式来求解。具体步骤如下：

首先将原式取对数，得到ln[(1+xy)^(1/(x+y))]，然后使用ln(a^b)=b*ln(a)的性质，将指数提取出来，得到(1/(x+y))*ln(1+xy)。

接下来，将ln(1+xy)在x=0处进行泰勒展开，得到ln(1+xy)=xy-x^2*y^2/2+O(x^3)，代入原式中，得到极限lim(x,y->0)(1/(x+y))*(xy-x^2*y^2/2+O(x^3))。

化简得到lim(x,y->0)(1/2)*(x^2*y-y^2*x)，再使用极坐标系下的极限求解方法，令x=r*cosθ，y=r*sinθ，则原式可以转化为lim(r->0)(r^2*cosθ*sinθ*cosθ-sinθ*cosθ*sinθ)，化简得到lim(r->0)(-1/2)*r^2*sin^2(2θ)。

由于sin^2(2θ)的取值范围在[0,1]之间，因此当r趋近于0时，原式的极限为0。

因此，原式的极限为0。

matlab求极限lim x趋近于1 y趋近于2 （x^2+y^2）^xy

好的，让我来帮你解答这个问题。

首先，我们可以将极限表达式写成指数形式，即：

lim(x→1, y→2) (x^2 + y^2)^(xy) = e^lim(x→1, y→2) ln[(x^2 + y^2)^(xy)]

接下来，我们需要求出 ln[(x^2 + y^2)^(xy)] 的极限。我们可以使用自然对数的性质，将指数拆开，得到：

ln[(x^2 + y^2)^(xy)] = xy * ln(x^2 + y^2)

然后，我们再将 ln(x^2 + y^2) 表示成 ln[(x-1)^2 + (y-2)^2 + 5] 的形式，这里使用了平面几何的知识。可以证明，当 (x, y) 趋近于 (1, 2) 时，(x-1)^2 + (y-2)^2 会趋近于 0，因此可以将 ln(x^2 + y^2) 用泰勒公式展开为：

ln(x^2 + y^2) = ln[(x-1)^2 + (y-2)^2 + 5] ≈ ln(5) + [(x-1)^2 + (y-2)^2]/5 + O([(x-1)^2 + (y-2)^2]^2)

注意到当 (x, y) 趋近于 (1, 2) 时，O([(x-1)^2 + (y-2)^2]^2) 的量级比 [(x-1)^2 + (y-2)^2]/5 小得多，因此我们可以忽略它，得到：

ln[(x^2 + y^2)^(xy)] ≈ xy * [ln(5) + (x-1)^2/5 + (y-2)^2/5]

现在我们需要求出 xy * [ln(5) + (x-1)^2/5 + (y-2)^2/5] 的极限。注意到当 (x, y) 趋近于 (1, 2) 时，xy 也趋近于 2，因此我们可以将极限写成：

2 * [ln(5) + (x-1)^2/5 + (y-2)^2/5]

然后，我们可以将 (x-1)^2 和 (y-2)^2 展开，得到：

2 * [ln(5) + (x^2 - 2x + 1)/5 + (y^2 - 4y + 4)/5]

化简一下，得到：

2 * [ln(5) + (x^2 + y^2)/5 - (2x + 4y - 7)/5]

现在我们只需要将 x^2 + y^2 替换成 5 - (x-1)^2 - (y-2)^2，得到：

2 * [ln(5) + (5 - (x-1)^2 - (y-2)^2)/5 - (2x + 4y - 7)/5]

最后，我们可以将 (x-1)^2 和 (y-2)^2 替换成 O(1) 的量，得到：

2 * [ln(5) + 1 - (2x + 4y - 7)/5]

当 (x, y) 趋近于 (1, 2) 时，(2x + 4y - 7)/5 也趋近于 0，因此极限为：

2 * [ln(5) + 1] = 2ln(5) + 2

因此，原极限的值为 e^(2ln(5)+2) = 50e^2。