已知一维数组 A[N] 中保存了一棵顺序存储的完全二叉树,设计算法求出数组元素A[i]和A[j]的最近的共同祖先

### 回答1：

可以使用一种类似于二叉树后序遍历的方法来求解：从根节点开始，搜索A[i]和A[j]，如果其中一个节点在另一个节点的左子树或右子树中，则当前节点即为最近的共同祖先；如果两个节点都不在当前节点的左子树或右子树中，则递归搜索其父节点，直到找到最近的共同祖先为止。

### 回答2：
对于完全二叉树，我们可以根据数组的下标关系找到节点之间的关系。假设节点i的左子节点在数组中的下标为2i，右子节点在数组中的下标为2i+1，父节点在数组中的下标为i/2（向下取整）。

首先，我们可以比较i和j的大小，假设i < j。如果i是j的祖先节点，那么最近的共同祖先就是i；如果j是i的祖先节点，那么最近的共同祖先就是j。

如果i和j不在同一级别的话，可以先判断它们哪一个更靠近根节点。找到它们的公共的祖先节点所在的层级h，根据h的值来决定哪一个节点需要向上移动h层。我们设节点i和j向上移动h层之后的节点分别为i'和j'，此时i'和j'在同一级别上。

然后，我们分别从i'和j'开始向上移动，判断i'和j'是否相等。如果相等，那么最近的共同祖先就是i'或j'；如果不相等，那么我们继续将i'和j'向上移动一层，直到找到它们相等为止。

具体的算法如下：
1. 比较i和j的大小，记小的那个数为i，大的那个数为j。
2. 计算i和j的层级差，记为h。
3. 如果h为0，则说明i已经是j的祖先节点，返回i作为最近的共同祖先。
4. 分别将i和j向上移动h层，得到新的节点i'和j'。
5. 如果i'等于j'，返回i'或j'作为最近的共同祖先。
6. 如果i'不等于j'，将i'和j'同时向上移动一层，重复步骤5。
7. 重复步骤6，直到找到最近的共同祖先为止。

以上是一个基于顺序存储的完全二叉树的求最近共同祖先的算法。算法的时间复杂度是O(logN)，其中N为数组的长度。

### 回答3：
首先，需要理解完全二叉树的性质。完全二叉树可以利用数组进行顺序存储，其中节点A[i]的左子节点为A[2i+1]，右子节点为A[2i+2]。

针对这个问题，可以使用以下算法来求出数组元素A[i]和A[j]的最近的共同祖先：

1. 首先，通过索引计算出节点A[i]和A[j]在完全二叉树中的位置。即，设A[i]的路径为P(i)，则P(i)的二进制表示为(i+1)的二进制形式去掉最高位的结果。同理，设A[j]的路径为P(j)，则P(j)的二进制表示同样通过计算得到。

2. 判断哪个节点的路径长度较长，假设为节点A[i]。

3. 将较长路径不断右移一位，直到路径长度相等。

4. 比较较长路径和较短路径最右边一位的二进制数，如果相等，则表示A[i]和A[j]处于同一层级，通过继续右移一位来找到最近的共同祖先。

5. 如果不相等，则表示A[i]和A[j]不处于同一层级，继续右移一位。

6. 不断重复步骤5，直到找到最近的共同祖先。

7. 最后，根据共同祖先在完全二叉树中的位置，可以通过索引计算出在数组A[N]中的位置。

这样，就可以通过以上算法求出数组元素A[i]和A[j]的最近的共同祖先。