cos(ωt)ε(t)单边拉普拉斯变换为
时间: 2023-06-20 18:10:27 浏览: 135
首先,cos(ωt)可以表示为实部为cos(ωt)、虚部为0的复指数形式,即cos(ωt)+j\*0。
然后,单边拉普拉斯变换的定义为:
F(s)=L{f(t)}=∫[0,+∞) f(t)e^(-st) dt
其中,f(t)是原函数,F(s)是单边拉普拉斯变换后的函数。
将cos(ωt)ε(t)带入上述公式中得到:
F(s)=L{cos(ωt)ε(t)}=∫[0,+∞) cos(ωt)ε(t)e^(-st) dt
由于ε(t)的作用是将t限制在[0,+∞)范围内,因此我们可以将积分区间改为(-∞,+∞),同时在被积函数中乘以θ(t)(单位阶跃函数),得到:
F(s)=L{cos(ωt)θ(t)}=∫(-∞,+∞) cos(ωt)θ(t)e^(-st) dt
将θ(t)拆分为1-u(t),得到:
F(s)=∫(-∞,+∞) cos(ωt)(1-u(t))e^(-st) dt
将(1-u(t))拆分为e^0-u(t),得到:
F(s)=∫(-∞,+∞) cos(ωt)e^(-st) dt - ∫(-∞,+∞) cos(ωt)u(t)e^(-st) dt
第一个积分可以直接求解,得到:
F(s)=L{cos(ωt)θ(t)}=∫(-∞,+∞) cos(ωt)e^(-st) dt = s/(s^2+ω^2)
第二个积分中的cos(ωt)u(t)可以表示为实部为cos(ωt)、虚部为0的复指数形式,即cos(ωt)+j\*0,因此可以使用卷积定理得到:
L{cos(ωt)u(t)}=1/(s-jω)
将上述结果代入到F(s)中,得到:
F(s)=s/(s^2+ω^2) - 1/(s-jω)
因此,cos(ωt)ε(t)的单边拉普拉斯变换为:
L{cos(ωt)ε(t)}=F(s)=s/(s^2+ω^2) - 1/(s-jω)
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