sin(t+30°)-2cos(5t-45°)的拉普拉斯变换是什么

首先，我们需要使用三角恒等式将该函数转换为标准形式：

sin(t+30°)-2cos(5t-45°) = sin(t)cos(30°) + cos(t)sin(30°) - 2(cos(5t)cos(45°) + sin(5t)sin(45°))
= (1/2)sin(t) + (sqrt(3)/2)cos(t) - sqrt(2)cos(5t) - sqrt(2)sin(5t)

然后，我们可以使用拉普拉斯变换的定义来计算其拉普拉斯变换：

L{sin(t+30°)-2cos(5t-45°)} = L{(1/2)sin(t) + (sqrt(3)/2)cos(t) - sqrt(2)cos(5t) - sqrt(2)sin(5t)}
= (1/2)L{sin(t)} + (sqrt(3)/2)L{cos(t)} - sqrt(2)L{cos(5t)} - sqrt(2)L{sin(5t)}
= (1/2) * (1/(s^2+1)) + (sqrt(3)/2) * (s/(s^2+1)) - sqrt(2) * (s/(s^2+25)) - sqrt(2) * (5/(s^2+25))

因此，sin(t+30°)-2cos(5t-45°)的拉普拉斯变换为：

L{sin(t+30°)-2cos(5t-45°)} = (1/2) * (1/(s^2+1)) + (sqrt(3)/2) * (s/(s^2+1)) - sqrt(2) * (s/(s^2+25)) - sqrt(2) * (5/(s^2+25))

相关问题

单位反馈系统的开环传递函数为 G(s)=1/s+试根据式(6-11)频率特性的定义求闭环系统在输人信号r(t)=sin(t+30°-2cos(5t-45°)作用下的稳态输出稍微写得详细一点

根据式(6-11)，闭环系统的频率特性定义为H(jω) = G(jω) / [1 + G(jω)H(jω)]，其中G(jω)为开环传递函数，H(jω)为闭环传递函数。

将开环传递函数代入上式，得到闭环传递函数为：

H(jω) = 1 / [jω + 1 + H(jω)/jω]

将r(t)=sin(t+30°-2cos(5t-45°)代入闭环传递函数，即可得到输出信号：

Y(jω) = H(jω)R(jω)

其中，R(jω)为输入信号的傅里叶变换。

由于输入信号是周期信号，所以可以通过傅里叶级数展开得到其频域表示：

R(jω) = π[δ(ω-1) - δ(ω+1)] + jπ[δ(ω-5) - δ(ω+5)]

代入上式，得到输出信号的频域表示：

Y(jω) = H(jω)R(jω) = πH(j) [δ(ω-1) - δ(ω+1)] + jπH(j5) [δ(ω-5) - δ(ω+5)]

其中，H(j)和H(j5)分别表示闭环传递函数在ω=1和ω=5处的值。

因此，稳态输出为：

y(t) = π[H(1)sin(t+30°-2cos(5t-45°)) - jH(5)sin(5t+30°-2cos(25t-45°))]

单位反馈系统的开环传递函数为 G(s)=1/s+试根据式(6-11)频率特性的定义求闭环系统在输人信号r(t)=sin(t+30°-2cos(5t-45°)作用下的稳态输出。

根据式(6-11)频率特性的定义，闭环系统的传递函数为：

H(s) = G(s) / (1 + G(s))

将 G(s) = 1 / (s+1) 带入得到：

H(s) = 1 / (s+2)

其中，稳态输出对应于输入信号的频率分量，即 r(t) = sin(t+30°-2cos(5t-45°)) 实际上是一个包含多个频率分量的信号，因此我们需要将其分解为不同的频率分量。

根据三角函数的和差公式，可以将 r(t) 重写为：

r(t) = sin(t+30°)cos(2cos(5t-45°)) - cos(t+30°)sin(2cos(5t-45°))

由于 cos(2cos(5t-45°)) 和 sin(2cos(5t-45°)) 都是周期为 2π/5 的函数，因此它们的频率分量只有在 k/5 的整数倍时才存在，其中 k 为整数。

因此，我们只需要考虑频率为 1 和 2/5 的分量。对于频率为 1 的分量，其幅值为 1，相位为 -30°，对应的输出为：

y1(t) = |H(j)|sin(t-arg(H(j))-30°) = sin(t-63.43°)

其中，|H(j)| = 1/√5，arg(H(j)) = -26.57°。

对于频率为 2/5 的分量，其幅值为 1/2，相位为 -30°-2cos(-45°) = -30°-1.4142°，对应的输出为：

y2(t) = |H(j2/5)|sin(2π/5t-arg(H(j2/5))-31.41°) = 0.5sin(2π/5t-90.55°)

其中，|H(j2/5)| = 1/√5，arg(H(j2/5)) = -89.45°。

因此，稳态输出为：

y(t) = y1(t) + y2(t) = sin(t-63.43°) + 0.5sin(2π/5t-90.55°)