利用Python的SymPy库中的函数求下列不定积分代码 (1) ∫sin⁡x/(1+sin⁡x+cos⁡x ) ⅆx (2) ∫1/x √((1+x)/x) ⅆx

使用Python的SymPy库计算这两个不定积分需要先安装 SymPy 库，如果你还没有安装，可以使用pip install sympy命令。接下来我会展示如何利用SymPy来求解这两个积分：

1. 对于∫(sin(x)/(1 + sin(x) + cos(x))) dx 的积分，你可以这样做：

import sympy as sp

# 定义变量
x = sp.symbols('x')
# 定义函数
integrand = sp.sin(x) / (1 + sp.sin(x) + sp.cos(x))
# 计算积分
integral1 = sp.integrate(integrand, x)
integral1

运行这段代码后会得到结果。

2. 对于∫(1/x * sqrt((1+x)/x)) dx，积分步骤类似：

# 定义新的函数
integral2_function = sp.Pow((1 + x) / x, 0.5) / x
integral2 = sp.integrate(integral2_function, x)
integral2

同样地，SymPy会返回积分的答案。

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import sympy

x = sympy.symbols('x')
sympy.simplify((x+2)**2 - (x+1)**2)

输出结果为：`2*x + 3`

对于第二个表达式，我们需要注意分母不能为零：

import sympy

x = sympy.symbols('x')
sympy.simplify((x-1)**2/(x+1))

输出结果为：`(x - 1)**2/(x + 1)`

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import sympy

x = sympy.symbols('x')
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对于第一个表达式，我们可以利用平方差公式进行化简：

(x+2)^2 - (x+1)^2 = ((x+2)+(x+1))*((x+2)-(x+1)) = (2x+3)

对于第二个表达式，我们需要注意分母不能为零：

(x-1)^2/(x+1) = ((x-1)/(x+1))^2

对于第三个表达式，我们利用三角函数的恒等式进行化简：

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我们可以利用三角函数的展开公式：

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代码实现：

import sympy

x, y = sympy.symbols('x y')
sympy.expand_trig(sympy.sin(2*x+y))

输出结果为：`2*sin(x)*cos(x)*cos(y) + sin(y)*(-sin(x)**2 + cos(x)**2)`

3. 对表达式 (15x^2+2y-3x-10xy)因式分解

我们可以利用sympy库中的因式分解函数进行因式分解：

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x, y = sympy.symbols('x y')
sympy.factor(15*x**2 + 2*y - 3*x - 10*x*y)

输出结果为：`(5*x - 2*y)*(3*x + 1)`