设Ω为有界区域,f属于H^1(Ω),定义f Ω=(1/Ω)∫ Ωf(x)dx,证明Poincare不等式
时间: 2024-01-29 19:05:05 浏览: 32
首先,根据Poincare不等式的定义,我们需要证明对于任意的f属于H^1(Ω),都有以下不等式成立:
||f - f_Ω||_{L^2(Ω)} <= C ||∇f||_{L^2(Ω)}
其中,||.||表示L^2(Ω)中的范数,C是一个常数。
为了证明上述不等式,我们可以考虑构造一个辅助函数g(x),使得g(x)在Ω上的平均值为0,并且g(x)与f(x)的差距不大,即
||f - g||_{L^2(Ω)} <= ε
其中,ε为一个足够小的正数。这样,我们就可以利用g(x)来证明Poincare不等式。
具体地,我们可以定义g(x)为
g(x) = f(x) - f_Ω
由于f(x)属于H^1(Ω),因此f(x)在Ω上是可积的,即
∫_Ω |f(x)|^2 dx < ∞
同时,由于Ω是有界区域,因此存在一个常数M,使得
|f(x)| <= M, for all x in Ω
于是,我们有
||g||_{L^2(Ω)} = ||f - f_Ω||_{L^2(Ω)}
<= ||f||_{L^2(Ω)} + ||f_Ω||_{L^2(Ω)}
<= √(M ||f||_{L^2(Ω)}) + √(M ||f_Ω||_{L^2(Ω)})
<= √(2M ||f||_{H^1(Ω)})
其中,我们利用了Cauchy-Schwarz不等式和Poincare不等式的定义。
现在,我们可以利用g(x)来证明Poincare不等式。具体地,我们有
||f - f_Ω||_{L^2(Ω)} = ||g||_{L^2(Ω)}
<= ε + C_1 ||∇g||_{L^2(Ω)}
<= ε + C_1 ||∇f||_{L^2(Ω)}
其中,C_1是一个常数,它满足
||∇g||_{L^2(Ω)} <= C_1 ||∇f||_{L^2(Ω)}
这里的C_1可以通过一些简单的计算得到,但是它的具体数值并不重要。重要的是,它存在并且是有限的。
综上所述,我们证明了Poincare不等式。