定义一个可以是降噪自编码器学习更紧凑，可提高降噪自编码器模型泛化能力的稀疏函数

一个可以实现上述功能的稀疏函数可以定义为：

$J(W,b,\rho,\hat{\rho}) =\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \mathcal{L}(\hat{x}^{(i)}, x^{(i)}) + \beta \sum_{j=1}^{n_{h}} \mathrm{KL}(\rho \| \hat{\rho})$

其中，$W$ 和 $b$ 分别是自编码器的权重和偏置参数，$\rho$ 是隐藏层单元的平均激活度，$\hat{\rho}$ 是预设的稀疏激活度，$\beta$ 是用于控制稀疏性的超参数，$\mathcal{L}$ 是重构误差损失函数，$\mathrm{KL}$ 是 KL 散度。

这个稀疏函数的目标是在最小化重构误差的同时，尽可能地使隐藏层单元的平均激活度接近预设的稀疏激活度。这样可以促使隐藏层单元发现更为重要的特征，并剔除一些噪声或不必要的特征，从而实现更紧凑的表示，提高模型的泛化能力。