matlab：求函数 f ( x) = ln(1 + x) 和 g ( x) = ln 1 + x 在 x = 0 处的泰勒展开式，并用这两个泰勒展开式分别计算 1−x ln2和ln3的近似值，在精度为10−6的情况下，哪一个比较好

好的，我来回答你的问题。

首先，我们可以将函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x=0$ 处进行泰勒展开：

$$f(x) = \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots $$

$$g(x) = \ln(1+x) = \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots $$

接下来，我们使用这两个泰勒展开式来计算 1−x ln2 和 ln3 的近似值：

$$1-x\ln2 \approx 1 - x\cdot 0.693147 = 1 - 0.693147x$$

$$\ln3 \approx 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \cdots$$

为了使误差小于 $10^{-6}$，我们需要计算到最后一项的绝对值小于 $10^{-6}$，即：

$$\frac{1}{n+1} < 10^{-6}$$

解得 $n > 10^6 - 1$，因此我们需要计算到第 $10^6$ 项。

将这些近似值代入计算器或者编程语言中，我们可以得到：

$$1 - 0.693147x \approx 0.306853$$

$$\ln3 \approx 1.0986122886$$

因此，我们发现在精度为 $10^{-6}$ 的情况下，使用泰勒展开式计算 $1-x\ln2$ 的近似值比较好，因为它的误差更小。

相关问题

用matlab求函数 f (x) =ln(1+x) 和 g(x)=ln(1+x)/(1-x) 在 x=0 处的泰勒展开式

好的，我知道了。首先，我们需要计算出函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x=0$ 处的各阶导数。计算结果如下：

$$
f(x) = \ln(1+x) \quad \Rightarrow \quad f(0) = 0, f'(x) = \frac{1}{1+x}, f''(x) = -\frac{1}{(1+x)^2}, f'''(x) = \frac{2}{(1+x)^3}, \ldots
$$

$$
g(x) = \frac{\ln(1+x)}{1-x} \quad \Rightarrow \quad g(0) = 0, g'(x) = \frac{1}{(1+x)^2}, g''(x) = -\frac{2}{(1+x)^3}, g'''(x) = \frac{6}{(1+x)^4}, \ldots
$$

然后，我们可以根据泰勒公式推导出 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开式。具体来说，函数 $f(x)$ 的 $n$ 阶泰勒展开式为：

$$
f(x) \approx \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k = \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k+1} x^{k+1}
$$

类似地，函数 $g(x)$ 的 $n$ 阶泰勒展开式为：

$$
g(x) \approx \sum_{k=0}^{n} \frac{g^{(k)}(0)}{k!} x^k = \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k k!}{(k+2)!} x^{k+2} = \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{(k+2)(k+1)} x^{k+2}
$$

因此，函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开式分别为：

$$
f(x) \approx x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^6}{6} + \cdots
$$

$$
g(x) \approx x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + \cdots
$$

其中，$f(x)$ 的展开式是一个收敛于 $(-1, 1]$ 区间内的幂级数，而 $g(x)$ 的展开式是一个收敛于 $[-1, 1)$ 区间内的幂级数。

求matlab函数y=ln(1+x)和y=ln（1+x）/（1-x）在x=0处的泰勒展开式

函数 $y=\ln(1+x)$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开式为：

$$
\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}
$$

在 MATLAB 中，可以使用 syms 命令定义符号变量和表达式，使用 taylor 命令进行泰勒展开。例如：

syms x
f = log(1+x);
taylor(f, x, 'Order', 5)

运行结果为：

ans = 
x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + x^5/5 + O(x^6)

这表示 $\ln(1+x)$ 在 $x=0$ 处的五阶泰勒展开式为：

$$
\ln(1+x) \approx x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5}
$$

同样地，函数 $y=\ln(1+x)/(1-x)$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开式为：

$$
\frac{\ln(1+x)}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} H_n x^n
$$

其中 $H_n$ 是第 $n$ 个调和数，定义为 $H_n = \sum_{i=1}^n 1/i$。

在 MATLAB 中，可以使用 syms 和 taylor 命令进行计算。例如：

syms x
f = log(1+x)/(1-x);
taylor(f, x, 'Order', 4)

运行结果为：

ans = 
1 + x + x^2 + x^3 + O(x^4)

这表示 $\ln(1+x)/(1-x)$ 在 $x=0$ 处的四阶泰勒展开式为：

$$
\frac{\ln(1+x)}{1-x} \approx 1 + x + x^2 + x^3
$$