python实现重要性采样正态分布

在Python中，重要性采样通常用于估计难以直接抽样的概率密度函数（PDF）。对于正态分布，我们假设目标PDF为 \( f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \)，其中 \( \mu \) 是均值，\( \sigma \) 是标准差。

重要性采样涉及到从一个更容易抽样的分布，比如均匀分布或另一个正态分布，生成样本，并根据目标PDF的比重赋予每个样本一个权重。下面是一个简单的例子，使用NumPy来实现：

import numpy as np

# 定义目标正态分布参数
mu = 0
sigma = 1  # 标准正太分布
target_pdf = lambda x: (1 / (sigma * np.sqrt(2 * np.pi))) * np.exp(-((x - mu)**2) / (2 * sigma**2))

# 定义辅助正态分布，作为简单易抽样的源分布
auxiliary_pdf = lambda x: 1  # 这里假设是均匀分布，如果源分布是其他正态分布，只需改变这个函数

# 生成大量源分布的随机样本
n_samples = 100000
auxiliary_samples = np.random.normal(size=n_samples)

# 计算每个样本的重要性权重
weights = target_pdf(auxiliary_samples) / auxiliary_pdf(auxiliary_samples)

# 汇总重要性加权的估计
weighted_mean = np.sum(weights * auxiliary_samples) / np.sum(weights)
weighted_variance = np.sum(weights * (auxiliary_samples - weighted_mean)**2) / np.sum(weights)

print(f"Importance-sampled mean: {weighted_mean}")
print(f"Importance-sampled variance: {weighted_variance}")