为什么【Corr(yi,yi^)】^2 = 【Σ(ei * yi^) / (σy * σy^)】^2
时间: 2024-06-16 15:06:04 浏览: 22
【Corr(yi, yi^)】^2 = 【Σ(ei * yi^) / (σy * σy^)】^2 是由相关系数的定义推导得出的。
首先,我们知道相关系数是用来衡量两个变量之间线性关系强度的统计量。相关系数的取值范围在-1到1之间,其中-1表示完全负相关,1表示完全正相关,0表示无相关。
现在我们来推导为什么【Corr(yi, yi^)】^2 = 【Σ(ei * yi^) / (σy * σy^)】^2:
1. 首先,我们将相关系数定义为:Corr(yi, yi^) = Cov(yi, yi^) / (σy * σy^),其中Cov(yi, yi^)表示yi和yi^的协方差,σy和σy^分别表示yi和yi^的标准差。
2. 将协方差展开得到:Cov(yi, yi^) = Σ((yi - ȳ)(yi^ - ȳ^)) / n,其中ȳ和ȳ^分别表示yi和yi^的均值,n表示样本数量。
3. 将标准差展开得到:σy = sqrt(Σ((yi - ȳ)^2) / n),σy^ = sqrt(Σ((yi^ - ȳ^)^2) / n)。
4. 将上述结果代入相关系数的定义中,得到:Corr(yi, yi^) = (Σ((yi - ȳ)(yi^ - ȳ^)) / n) / (sqrt(Σ((yi - ȳ)^2) / n) * sqrt(Σ((yi^ - ȳ^)^2) / n))。
5. 将相关系数平方得到:【Corr(yi, yi^)】^2 = (Σ((yi - ȳ)(yi^ - ȳ^)) / n)^2 / (Σ((yi - ȳ)^2) / n * Σ((yi^ - ȳ^)^2) / n)。
6. 将误差项ei定义为:ei = yi - yi^,将上述结果代入,得到:【Corr(yi, yi^)】^2 = (Σ(ei * yi^) / n)^2 / (Σ((yi - ȳ)^2) / n * Σ((yi^ - ȳ^)^2) / n)。
7. 将n约去,得到最终结果:【Corr(yi, yi^)】^2 = 【Σ(ei * yi^) / (σy * σy^)】^2。