利用范德蒙德行列式，证明n次多项式至多有n个根

要证明一个n次多项式至多有n个根，我们可以利用范德蒙德行列式的性质来进行证明。

假设我们有一个n次多项式 P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0，其中 a_i 是多项式的系数。

我们假设 P(x) 有超过n个根，即存在 n+1 个不同的数 r_0, r_1, ..., r_n，使得 P(r_0) = P(r_1) = ... = P(r_n) = 0。

我们可以构造一个 n×n 的范德蒙德行列式 V，其中第 i 行的元素为 r_i 的各次幂：

V = | 1 r_0 r_0^2 ... r_0^{n-1} |
| 1 r_1 r_1^2 ... r_1^{n-1} |
| . . . . |
| . . . . |
| . . . . |
| 1 r_n r_n^2 ... r_n^{n-1} |

根据范德蒙德行列式的定义，如果 V 的行向量线性相关，即行向量可以表示成其他行向量的线性组合，则 V 的行列式为零。

现在我们考虑多项式 P(x) 在每个根 r_i

相关问题

范德蒙行列式还是范德蒙德行列式

这两个术语都是存在的，但是它们指代的是不同的概念。

范德蒙行列式（Vandermonde determinant）是以荷兰数学家范德蒙的名字命名的，它是由 $n$ 个变量 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 组成的 $n \times n$ 的行列式，其形式为：
$$
\begin{vmatrix}
1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\
1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1}
\end{vmatrix}
$$
范德蒙行列式在数学和物理等领域中都有重要的应用，例如在插值多项式、正交多项式、量子力学等方面。

而范德蒙德行列式（Vandermonde matrix）则是由范德蒙的学生德国数学家德沃金（Alexandre-Théophile Vandermonde）所发现的，它是一个 $n \times m$ 的矩阵，其中第 $i$ 行第 $j$ 列的元素为 $x_i^{j-1}$，形式为：
$$
\begin{bmatrix}
1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{m-1} \\
1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{m-1} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{m-1}
\end{bmatrix}
$$
范德蒙德行列式在插值问题和多项式拟合问题中也有应用。

c语言实现两个一元n次多项式相加

可以使用数组来存储多项式的系数，然后按照指数从高到低的顺序相加，最后输出结果即可。具体实现可以参考以下代码：

#include <stdio.h>

#define MAX_N 100

int main() {
int n, m, i, j, k;
int a[MAX_N], b[MAX_N], c[MAX_N];

printf("请输入第一个多项式的次数：");
scanf("%d", &n);
printf("请输入第一个多项式的系数：");
for (i = 0; i <= n; i++) {
scanf("%d", &a[i]);
}

printf("请输入第二个多项式的次数：");
scanf("%d", &m);
printf("请输入第二个多项式的系数：");
for (i = 0; i <= m; i++) {
scanf("%d", &b[i]);
}

k = n > m ? n : m;
for (i = 0; i <= k; i++) {
c[i] = 0;
if (i <= n) {
c[i] += a[i];
}
if (i <= m) {
c[i] += b[i];
}
}

printf("相加后的多项式为：");
for (i = k; i >= 0; i--) {
if (c[i] != 0) {
printf("%d", c[i]);
if (i > 0) {
printf("x^%d + ", i);
}
}
}
printf("\n");

return 0;
}