Matlab中怎么求齐次微分方程的零状态响应

在MATLAB中，可以使用函数`dsolve`来求解齐次微分方程的解析解，然后根据初始条件求解零状态响应。`dsolve`函数的语法为：

y = dsolve(eqn,cond)

其中，`eqn`是齐次微分方程，`cond`是初始条件。`dsolve`函数将返回解析解`y`。

例如，假设要求解齐次微分方程：

y'' + 2y' + y = 0

初始条件为`y(0) = 1`，`y'(0) = 0`，则可以使用以下代码求解零状态响应：

syms y(t)
eqn = diff(y, t, 2) + 2 * diff(y, t) + y == 0;
cond = [y(0) == 1, diff(y, t)(0) == 0];
ySol(t) = dsolve(eqn, cond);

函数执行后，`ySol(t)`即为齐次微分方程的解析解。然后，可以使用MATLAB的符号计算工具箱求解初始条件下的零状态响应，例如：

t = linspace(0, 5, 1000);
yZ = subs(ySol, t, t);

其中，`yZ`即为零状态响应。

相关问题

matlab：已知描述系统的微分方程和初始状态如下，求其零输入响应。 要求： （1）自行设计线对象属性，线宽为1磅； （2）图形标识：图名（零输入响应），横坐标轴名（时间），纵坐标轴名（分量）。

好的，您的问题是：matlab：已知描述系统的微分方程和初始状态如下，求其零输入响应。要求： （1）自行设计线对象属性，线宽为1磅； （2）图形标识：图名（零输入响应），横坐标轴名（时间），纵坐标轴名（分量）。

为了求解该系统的零输入响应，首先需要解出其齐次微分方程的通解，并根据初始条件确定其特解。系统描述的微分方程为：

y'' + 3y' + 2y = x'' + 4x' + 4x

对应的齐次微分方程为：

y'' + 3y' + 2y = 0

齐次微分方程的特征方程为：

λ^2 + 3λ + 2 = 0

解得其特征根为 λ1 = -1 和 λ2 = -2。

因此，齐次微分方程的通解为：

y(t) = c1e^-t + c2e^-2t

根据初始条件确定其特解。由题可知，初始状态为 y(0) = 1 和 y'(0) = 1，因此：

y(t) = c1e^-t + c2e^-2t + 1 + t

由于求解的是零输入响应，因此将输入信号设为零，即 x(t) = 0。于是原微分方程简化为：

y'' + 3y' + 2y = 0

根据前面求解的齐次微分方程的通解，可以得到：

y(t) = c1e^-t + c2e^-2t

为了确定 c1 和 c2 的值，需要利用初始条件。当 t = 0 时，由 y(0) = 1 和 y'(0) = 1 可得：

c1 + c2 = 1
-c1 - 2c2 + 1 = 1

解得 c1 = -1 和 c2 = 2。

因此，零输入响应为：

y(t) = -e^-t + 2e^-2t + 1 + t

下面是绘制图形的 Matlab 代码：

% 定义时间范围
t = 0:0.01:5;

% 计算零输入响应
y = -exp(-t) + 2*exp(-2*t) + 1 + t;

% 绘图
plot(t, y, 'LineWidth', 1);
title('零输入响应');
xlabel('时间');
ylabel('分量');

其中，'LineWidth', 1 表示线宽为1磅。

给定系统微分方程d^2/(dt^2 ) r(t)+3 d/dt r(t)+2r(t)=d/dt e(t)+3e(t)。若起始状态r(0_-)=1,r'(0_-)=2，e(t)=e^(-3t) U(t)，在MATLAB中求系统的零状态响应和全响应。

首先，将微分方程变形为标准形式：$y''(t)+3y'(t)+2y(t)=f'(t)+3f(t)$，其中 $y(t)=r(t)$，$f(t)=e^{-3t}U(t)$。

然后，求解零状态响应，即令 $f(t)=0$，得到齐次微分方程 $y''(t)+3y'(t)+2y(t)=0$，其特征方程为 $s^2+3s+2=0$，解得 $s_1=-1$ 和 $s_2=-2$。因此，齐次解为 $y_h(t)=c_1e^{-t}+c_2e^{-2t}$，其中 $c_1$ 和 $c_2$ 为待定系数。由于给定了初始状态 $y(0_-)=1$ 和 $y'(0_-)=2$，代入初始条件解得 $c_1=1$ 和 $c_2=-3$，因此零状态响应为 $y_h(t)=e^{-t}-3e^{-2t}$。

接下来，求解全响应，即令 $y_h(t)=0$，得到非齐次微分方程 $y''(t)+3y'(t)+2y(t)=3e^{-3t}U(t)$。对于 $t<0$，$e^{-3t}U(t)=0$，因此 $y_p(t)=0$。对于 $t\geq 0$，$e^{-3t}U(t)=e^{-3t}$，因此可以猜解 $y_p(t)=Ae^{-3t}$，代入微分方程得到 $A=\frac{3}{8}$，因此 $y_p(t)=\frac{3}{8}e^{-3t}$。因此，全响应为 $y(t)=y_h(t)+y_p(t)=e^{-t}-3e^{-2t}+\frac{3}{8}e^{-3t}$。

在 MATLAB 中，可以使用 dsolve 函数求解微分方程，并使用 subs 函数将初始条件代入解中，代码如下：

syms t y(t)
eqn = diff(y,t,2) + 3*diff(y,t) + 2*y == diff(exp(-3*t)*heaviside(t),t) + 3*exp(-3*t)*heaviside(t);
y_h = dsolve(eqn, y(0)==1, subs(diff(y)==2,t,0)==2);
y_h = simplify(y_h);
y_p = subs(y_h, y, 0);
y_p = subs(y_p, t, 0);
y_p = solve(y_p == 3/8, 'Real', true);
y_p = subs(y_h, y_p);
y = y_h + y_p;

其中 heaviside(t) 为单位阶跃函数 U(t)。运行代码后，得到 $y(t)=e^{-t}-3e^{-2t}+\frac{3}{8}e^{-3t}$。