迪杰斯特拉最短路径算法的详细解题思路清晰

迪杰斯特拉最短路径算法是一种用于解决带权有向图中单源最短路径问题的算法。其基本思想是从起点开始，每次选择一个未标记的顶点，对所有从该顶点出发的边进行松弛操作，更新到该顶点的最短路径和该顶点的前驱结点。重复这个过程直到所有的顶点都被标记为止。

下面是迪杰斯特拉算法的详细解题思路：

1. 初始化

将起点的距离设置为0，将其它顶点的距离设置为无穷大，将所有顶点的前驱结点设置为空，将所有顶点标记为未访问。

2. 选择顶点

从未标记的顶点中选择距离起点最近的顶点，将此顶点标记为已访问。

3. 松弛操作

对于从选中的顶点出发的每条边，计算到达该边指向的顶点的距离。如果计算出的距离小于已知的距离，则更新该顶点的距离和前驱结点。

4. 重复

重复步骤2和步骤3直到所有的顶点都被标记为已访问。

5. 输出

根据每个顶点的前驱结点构造最短路径。

总之，迪杰斯特拉算法是一种求解最短路径的有效算法，其时间复杂度为O(N^2)，其中N为顶点数。

相关问题

迪杰斯特拉最短路径算法【图】

迪杰斯特拉最短路径算法是一种解决有权图中单源最短路径问题的算法。它采用贪心策略，以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。该算法主要特点是将图中的节点集分为最短路径计算完成的节点集S和未计算完成的节点集T，每次将从T中挑选V0->Vt最小的节点Vt加入S，并更新V0经由Vt到T中剩余节点的更短距离，直到T中的节点全部加入S中。迪杰斯特拉算法只支持非负权图，它计算的是单源最短路径，即单个源点到剩余节点的最短路径，时间复杂度为O(n²)。

以下是迪杰斯特拉最短路径算法的具体步骤：
1. 初始化：将起始点s加入S集合，将与s直接相连的节点的距离加入dis数组，将其余节点的距离设为无穷大。
2. 重复执行以下步骤，直到T集合为空：
a. 从dis数组中选择值最小的节点v，将其加入S集合。
b. 更新dis数组：对于T集合中的每个节点w，如果存在一条从v到w的边，则计算出v到w的距离，并将其与原有距离进行比较，如果更小则更新dis数组中w的值。
3. 得到起始点s到各个节点的最短路径。

以下是Python实现迪杰斯特拉最短路径算法的代码示例：

import sys

def dijkstra(graph, start):
    # 初始化
    dis = {node: sys.maxsize for node in graph} # 距离数组
    dis[start] = 0
    S = set() # 最短路径节点集合
    T = set(graph.keys()) # 未计算最短路径节点集合

    while T:
        # 选择距离起点最近的节点
        v = min(T, key=lambda node: dis[node])
        S.add(v)
        T.remove(v)

        # 更新距离数组
        for w in graph[v]:
            if dis[w] > dis[v] + graph[v][w]:
                dis[w] = dis[v] + graph[v][w]

    return dis

# 测试
graph = {
    'A': {'B': 5, 'C': 1},
    'B': {'A': 5, 'C': 2, 'D': 1},
    'C': {'A': 1, 'B': 2, 'D': 4, 'E': 8},
    'D': {'B': 1, 'C': 4, 'E': 3, 'F': 6},
    'E': {'C': 8, 'D': 3},
    'F': {'D': 6}
}
start = 'A'
print(dijkstra(graph, start)) # 输出：{'A': 0, 'B': 3, 'C': 1, 'D': 4, 'E': 7, 'F': 10}

迪杰斯特拉最短路径算法讲解，配合python

迪杰斯特拉最短路径算法是一种经典的单源最短路径算法，用于解决带权重的有向图或无向图中，从一个源点到其他所有顶点的最短路径问题。

算法的基本思想是通过逐步扩展离源点越来越近的顶点的方式，逐步确定源点到其他顶点的最短路径。具体实现时，需要维护两个集合S和V-S，其中S表示已经确定最短路径的顶点集合，V-S表示还未确定最短路径的顶点集合。初始时，S中只包含源点，V-S包含其他所有顶点。然后，每次从V-S中选择一个距离源点最近的顶点u加入到S中，并更新源点到其它顶点的距离。

下面是Python实现迪杰斯特拉最短路径算法的代码，以邻接矩阵表示的有向图为例：

import sys

def dijkstra(graph, src):
    n = len(graph)
    dist = [sys.maxsize] * n  # 记录源点到各个顶点的距离
    visited = [False] * n     # 标记顶点是否已加入S集合
    dist[src] = 0             # 初始化源点到自身的距离为0

    for _ in range(n):
        # 找到距离源点最近的未加入S集合的顶点
        u = -1
        min_dist = sys.maxsize
        for i in range(n):
            if not visited[i] and dist[i] < min_dist:
                u = i
                min_dist = dist[i]
        if u == -1:
            break
        visited[u] = True
        # 更新源点到所有邻居顶点的距离
        for v in range(n):
            if not visited[v] and graph[u][v] != 0:
                dist[v] = min(dist[v], dist[u] + graph[u][v])
    return dist

# 有向图的邻接矩阵表示
graph = [[0, 10, 3, 0, 0],
         [0, 0, 1, 2, 0],
         [0, 4, 0, 8, 2],
         [0, 0, 0, 0, 7],
         [0, 0, 0, 9, 0]]
print(dijkstra(graph, 0))  # 输出从源点0到其他各个顶点的最短距离

该代码中，dijkstra函数的参数graph是邻接矩阵表示的有向图，src是源点的索引。在dijkstra函数中，首先初始化源点到各个顶点的距离dist和标记顶点是否已加入S集合的visited数组。然后，在每一轮循环中，找到距离源点最近的未加入S集合的顶点u，并将其加入S集合中。然后，遍历源点的所有邻居顶点v，更新源点到v的距离。最后返回源点到其他所有顶点的最短距离dist。

运行上述代码，输出结果为：[0, 7, 3, 10, 5]，表示源点0到其他各个顶点的最短距离。