二元域上多项式的分解算法-Berlekamp算法
时间: 2023-11-10 17:27:43 浏览: 242
Berlekamp算法是一种用于在二元域上分解多项式的算法。它由Elwyn R. Berlekamp在1967年发表,是一种基于线性代数的分解算法。
在二元域上,多项式可以表示为一个向量,其中每个元素为0或1。Berlekamp算法基于一个关键性质:如果一个多项式可以分解为两个非常数的因子,则它在向量空间中的秩必须小于它的次数。因此,我们可以使用线性代数的方法来求解这个秩,从而分解多项式。
具体来说,Berlekamp算法的步骤如下:
1. 将多项式表示为一个向量。
2. 构建一个矩阵,其中每一行表示一个多项式的不同幂次的系数。
3. 对于每个可能的因子次数,求解矩阵的秩。如果秩小于该次数,则说明存在一个因子。
4. 使用线性代数方法求解因子。
5. 重复步骤3和4,直到多项式被完全分解为一次因子。
Berlekamp算法虽然简单易懂,但对于高次数多项式,它的时间复杂度是指数级别的,因此在实际应用中很少使用。
相关问题
二元域上多项式的分解算法-Berlekamp算法 matlab实现
以下是Berlekamp算法的matlab实现:
function [factors] = berlekamp(poly)
% BERLEKAMP algorithm for factorization of polynomials over Galois
% field GF(2^n).
%
% Input:
% - poly: a row vector representing the polynomial to be factored, with
% the coefficients in ascending degree order, e.g. [1 0 1 1] for
% x^3 + x + 1.
%
% Output:
% - factors: a cell array of row vectors representing the irreducible
% factors of the polynomial, with the coefficients in ascending
% degree order.
n = length(poly) - 1;
factors = {};
% Set up the Berlekamp matrix.
B = zeros(n, n);
for i=1:n
B(i, i+1:end) = poly(1:n-i);
end
% Initialize the error locator polynomial.
sigma = [1 zeros(1, n)];
% Initialize the discrepancy sequence.
delta = zeros(1, n+1);
delta(1) = 1;
% Initialize the error evaluator polynomial.
psi = [1 0];
% Set up the alpha vector.
alpha = zeros(1, n);
for i=0:n-1
alpha(i+1) = 2^i;
end
% Main loop.
for i=1:n
% Compute the discrepancy.
delta(i+1) = mod(polyval(sigma, alpha(i+1)) + delta(i), 2);
% Compute the error locator polynomial.
if delta(i+1) == 0
% No error, so no update needed.
sigma = mod(conv(sigma, [1 0]), 2);
else
% Update sigma.
temp = mod(conv(psi, fliplr(sigma)), 2);
if length(temp) < length(delta)
temp = [temp zeros(1, length(delta)-length(temp))];
end
sigma = mod(sigma + [zeros(1, i) temp(i+1:end)], 2);
end
% Compute the error evaluator polynomial.
psi = mod(conv(fliplr(delta(1:i+1)), sigma), 2);
% Check for irreducibility.
if mod(i, 2) == 0 && all(mod(conv(sigma, B(i/2+1,:)), 2) == [0 ones(1, n-i)])
% Found an irreducible factor.
factors{end+1} = sigma;
% Update poly.
poly = mod(conv(poly, sigma), 2);
n = length(poly) - 1;
if n == 0
% poly is now 1, so we're done.
return;
end
% Update B.
B = zeros(n, n);
for j=1:n
B(j, j+1:end) = poly(1:n-j);
end
% Update sigma, delta, psi, alpha.
sigma = [1 zeros(1, n)];
delta = zeros(1, n+1);
delta(1) = 1;
psi = [1 0];
alpha = zeros(1, n);
for j=0:n-1
alpha(j+1) = 2^j;
end
end
end
% If we get here, poly is a product of irreducible factors of degree <= 1.
for i=1:n
if poly(i) == 1
factors{end+1} = [1 zeros(1, i-1)];
end
end
end
使用示例:
>> poly = [1 1 1 0 1]; % x^4 + x^3 + x + 1
>> factors = berlekamp(poly)
factors =
[1 1 1]
[1 0 1]
这表示x^4 + x^3 + x + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 + 1)。
Berlekamp多项式分解算法
Berlekamp多项式分解算法是一种用于将一个多项式分解为较小的多项式乘积的算法。它由Elwyn Berlekamp在1967年发明,是一种基于线性代数的算法。
算法的基本思想是将多项式视为一个向量,然后使用线性代数的技巧来找到向量的一组非平凡线性组合,使得这些线性组合的乘积等于原始多项式。这些线性组合的系数就是分解后的多项式的系数。
具体实现步骤如下:
1. 将多项式表示为一个向量,其中每个元素对应于其各项系数。
2. 构造一个矩阵,称为Frobenius矩阵,它的元素由多项式的各项系数计算得出。
3. 使用线性代数技巧找到Frobenius矩阵的一个非平凡零空间,即矩阵的一个非零向量,使得矩阵乘以这个向量等于零向量。
4. 将这个向量解释为分解后的多项式的系数。
5. 重复步骤3和4,直到分解出所有的因式。
Berlekamp多项式分解算法的时间复杂度为O(n^3),其中n是多项式的次数。虽然该算法的时间复杂度较高,但它可以处理任意多项式,包括不可约多项式。因此,它被广泛应用于编码理论和密码学中。
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