利用python编写梯度下降程序 计算z=f(x,y)=x^2+y^2从点（7，8）开始下降，步长为0.01，给出部分中间过程的点的轨迹 画图

在Python中，我们可以使用`numpy`库来计算函数的梯度，然后利用`matplotlib`库来可视化梯度下降的过程。首先，让我们编写一个简单的梯度下降算法，并绘制部分中间步骤的点的轨迹。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义目标函数 f(x, y) = x^2 + y^2
def func(x, y):
    return x**2 + y**2

# 初始化参数
start_point = np.array([7, 8])
learning_rate = 0.01
num_steps = 50  # 中间点的数量
points = [start_point]

# 梯度下降迭代过程
for _ in range(num_steps):
    gradient = 2 * np.array([start_point[0], start_point[1]])
    next_point = start_point - learning_rate * gradient
    points.append(next_point)
    start_point = next_point  # 更新当前点

# 绘制路径
plt.figure(figsize=(6, 6))
plt.plot(points[:, 0], points[:, 1], 'o-')
plt.title('梯度下降过程')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.grid(True)
plt.show()

这个脚本会从点(7, 8)开始，按照每次步长0.01的方向更新位置，直到达到一定次数（这里是50次）。每次迭代后的点会被添加到列表中，最后绘制出这些点构成的路径。注意，由于这是一个简单的一维优化问题的二维可视化，实际应用中可能会更复杂，涉及多维度的数据和高维空间的降维展示。