使用YALMIP gurobi求解优化目标为最短时间的最优路径问题
时间: 2024-06-12 15:05:13 浏览: 20
首先,需要建立一个优化模型来表示最短时间的最优路径问题。假设有一个有向图$G=(V,E)$,其中$V$表示节点集合,$E$表示边集合。对于每条边$(i,j)\in E$,有一个非负的权重$w_{i,j}$,表示从节点$i$到节点$j$的时间。我们要求从起点$s$到终点$t$的最短时间路径。
我们可以使用线性规划来表示这个问题。假设$x_{i,j}$表示边$(i,j)$是否被选择,$d_i$表示从起点$s$到节点$i$的最短时间,$u_i$表示一个中间变量,表示从起点$s$到节点$i$的最短路径的长度。则模型可以表示为:
$$\begin{aligned} \min \quad & d_t \\ \text{s.t.} \quad & d_i \leq d_j + w_{i,j} \cdot x_{i,j} \quad \forall (i,j)\in E \\ & d_s = 0 \\ & d_i \geq 0 \quad \forall i \in V \\ & \sum_{(i,j)\in E} x_{i,j} = 1 \\ & x_{i,j} \in \{0,1\} \quad \forall (i,j)\in E \\ & u_i \leq u_j + w_{i,j} \cdot x_{i,j} \quad \forall (i,j)\in E \\ & u_i \geq 0 \quad \forall i \in V \\ & u_s = 0 \\ & u_t = d_t \end{aligned}$$
其中,第一个约束条件表示了最短路径的定义,第二个约束条件表示起点的初始值,第三个约束条件表示距离的非负性,第四个约束条件表示每个节点只能被经过一次,第五个约束条件表示边的选择变量的取值范围,第六个和第七个约束条件表示最短路径的计算。
然后,我们可以使用YALMIP来建立和求解这个线性规划模型。假设已经读入了有向图$G$和起点$s$和终点$t$,则代码可以表示为:
```matlab
% 定义变量
n = length(G);
x = binvar(n,n,'full');
d = sdpvar(n,1);
u = sdpvar(n,1);
% 定义目标函数和约束条件
obj = d(t);
constr = [d(s) == 0,
d >= 0,
sum(x,2) == 1,
x >= 0,
x <= 1,
u(s) == 0,
u(t) == d(t),
u >= 0];
for i = 1:n
for j = 1:n
if G(i,j) > 0
constr = [constr, d(i) <= d(j) + G(i,j) * x(i,j)];
constr = [constr, u(i) <= u(j) + G(i,j) * x(i,j)];
end
end
end
% 求解线性规划
optimize(constr,obj);
% 输出结果
if value(obj) < Inf
fprintf('Shortest path from %d to %d: %f\n',s,t,value(obj));
path = [s];
while path(end) ~= t
[~,idx] = max(value(x(path(end),:)));
path = [path,idx];
end
fprintf('Path: %s\n',mat2str(path));
else
fprintf('No path from %d to %d\n',s,t);
end
```
其中,`binvar`函数定义了一个$n\times n$的二进制变量矩阵$x$,`sdpvar`函数定义了两个$n$维的实数变量$d$和$u$。`sum`函数表示对矩阵的每一行求和,`optimize`函数用于求解线性规划,`value`函数用于获取变量的值。最后,我们可以输出最短路径的长度和路径本身。
需要注意的是,YALMIP是一个MATLAB的工具箱,需要安装和配置好MATLAB和Gurobi之后才能使用。此外,本文并没有对输入数据的格式和读取进行说明,需要根据实际情况进行适当修改。
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