证明牛顿迭代法是一阶局部收敛的
时间: 2023-12-13 21:04:25 浏览: 50
牛顿迭代法是一种基于泰勒级数展开的迭代算法,用于求解非线性方程。在给定初始点$x_0$的情况下,该方法通过不断地利用函数$f(x)$在$x_k$处的一阶导数和二阶导数的信息来逼近方程的根。
牛顿迭代法的迭代公式为:
$$ x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} $$
其中,$f'(x_k)$表示$f(x)$在$x_k$处的一阶导数。
为了证明牛顿迭代法是一阶局部收敛的,我们需要满足以下两个条件:
1. $f(x)$在$x^*$处存在且连续;
2. $f'(x^*) \neq 0$。
在此基础上,我们可以得到以下结论:
当$x_0$足够接近$x^*$时,牛顿迭代法的迭代序列$\{x_k\}$收敛于$x^*$,且收敛速度是一阶的。
证明过程如下:
设$x_k$是迭代序列的第$k$项,$x^*$是$f(x)$的一个根,即$f(x^*)=0$。
根据泰勒级数展开,我们可以将$f(x_k)$在$x^*$处展开为:
$$ f(x_k) = f(x^*) + f'(x^*)(x_k - x^*) + O((x_k - x^*)^2) $$
代入牛顿迭代公式,得到:
$$ x_{k+1} - x^* = x_k - x^* - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} = \frac{f(x^*) + f'(x^*)(x_k - x^*) + O((x_k - x^*)^2)}{f'(x^*) + O(x_k - x^*)} $$
由于$f'(x^*) \neq 0$,所以分母不为零。在$x_0$足够接近$x^*$的情况下,我们可以忽略高阶项$O((x_k - x^*)^2)$,从而得到:
$$ \lim_{k \to \infty} \frac{x_{k+1} - x^*}{(x_k - x^*)} = \frac{f'(x^*)}{f'(x^*)} = 1 $$
这表明牛顿迭代法的收敛速度是一阶的。同时,由于$f(x)$在$x^*$处连续,我们可以得到:
$$ \lim_{k \to \infty} x_k = x^* $$
这表明牛顿迭代法的迭代序列$\{x_k\}$收敛于$x^*$。因此,牛顿迭代法是一阶局部收敛的。