用MATLAB求差分方程的单位阶跃响应和单位脉冲响应

假设差分方程为：

$$
y[n] + ay[n-1] = bx[n]
$$

其中，$a$和$b$为常数，$x[n]$为输入信号，$y[n]$为输出信号。

首先，需要求出差分方程的传递函数。对上式两边进行 Z 变换，得到：

$$
Y(z) + a(z^{-1}Y(z)) = bX(z)
$$

将 $Y(z)$ 移项，并整理得到传递函数：

$$
H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{b}{1+az^{-1}}
$$

接下来，我们可以使用 MATLAB 中的 `impz` 和 `stepz` 函数求差分方程的单位脉冲响应和单位阶跃响应。

以 $a=0.5$，$b=1$ 为例，MATLAB 代码如下：

a = 0.5;
b = 1;
num = [b];
den = [1, a];
sys = tf(num, den, 1); % 生成传递函数模型
n = 0:20; % 设置时间序列
impulse_response = impz(num, den, n); % 求单位脉冲响应
step_response = stepz(num, den, n); % 求单位阶跃响应
subplot(2,1,1);
stem(n, impulse_response);
title('Impulse Response');
xlabel('n');
ylabel('Amplitude');
subplot(2,1,2);
stem(n, step_response);
title('Step Response');
xlabel('n');
ylabel('Amplitude');

运行以上代码，可以得到差分方程的单位脉冲响应和单位阶跃响应的图像。