求大组合数 题目描述 从1到n这些整数中,选m个数的组合的个数。用这个公式计算: n!是n的阶乘表示1*2*3*……*n n很大时这个结果会特别大,请输出组合数模100000007的结果 输入 两个整数 n,m 输出 一个整数
时间: 2024-09-29 08:03:34 浏览: 22
题目所描述的问题涉及到计算较大的组合数并取模100000007,这是因为直接计算阶乘可能导致数值过大,超过了数据类型的范围。在这种情况下,通常会使用中国剩余定理(Chinese Remainder Theorem, CRT)或者费马小定理(Fermat's Little Theorem)进行优化,通过将原问题转换成一系列较小规模的模运算来解决。
一个常用的高效算法是基于 Lucas 猴子归纳法(Lucas's theorem),它结合了二项式定理和模运算。这个过程可以简化为对每个位数进行迭代,并利用之前计算的组合数模100000007的结果。
当你需要输入两个整数 n 和 m 时,程序会计算 C(n, m) 对于模 100000007 的值,并将其作为整数输出。
如果你想要了解具体的代码实现,这里给出一个简化的伪代码框架:
```python
def modular_combination(n, m):
mod = 100000007
fact_mod_m = [1] * (n + 1)
# 计算阶乘模100000007
for i in range(2, n+1):
fact_mod_m[i] = (fact_mod_m[i - 1] * i) % mod
# 使用 Lucas 猴子归纳法计算组合数
result = pow(fact_mod_m[m], mod - 2, mod) * fact_mod_m[n] % mod
return result
```
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c++求大组合数 题目描述 从1到n这些整数中,选m个数的组合的个数。用这个公式计算: n!是n的阶乘表示1*2*3*……*n n很大时这个结果会特别大,请输出组合数模100000007的结果 输入 两个整数 n,m 输出 一个整数
在 C++ 中,计算大组合数通常涉及动态规划,特别是当涉及到模运算时,因为直接计算阶乘可能导致数值溢出。你可以使用 Lucas 定理或递推算法结合取模操作来解决这个问题。这里是一种常见的做法,即使用 `modular_inverse` 函数来处理模逆和乘法的优化。
```cpp
#include <iostream>
using namespace std;
// 计算 a * b mod p 的快速幂方法
long long modular_multiply(long long a, long long b, int p) {
long long res = 0;
a %= p;
while (b > 0) {
if (b % 2 == 1) {
res = (res + a) % p;
}
a = (a * 2) % p; // 使用双倍法加速乘法
b /= 2;
}
return res;
}
// 计算阶乘模 p 的逆元
long long modular_inverse(long long num, int p) {
long long inv = 1, temp = p;
for (int i = 2; i <= num / temp; ++i) {
inv = (inv * temp) % p;
temp = (temp * temp) % p;
}
return (num * inv) % p;
}
// 用 Lucas 定理计算组合数
long long combination(int n, int m, int p) {
if (m > n || m < 0 || n < 0)
return 0;
long long fact[n + 1], inv_fact[n + 1];
fact[0] = inv_fact[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
fact[i] = fact[i - 1] * i % p;
inv_fact[i] = modular_inverse(fact[i], p);
}
long long res = fact[n];
res = modular_multiply(res, inv_fact[m], p);
res = modular_multiply(res, inv_fact[n - m], p);
return res;
}
int main() {
int n, m;
cin >> n >> m;
cout << "组合数 mod 100000007: " << combination(n, m, 100000007) << endl;
return 0;
}
```
在这个代码中,我们首先计算了阶乘和它们的逆元,然后利用组合数公式 `C(n, m) = n! / [m!(n-m)!]` 来计算组合数,并在每次乘法中都对 `p` 取模,避免数值溢出。输入 n 和 m 后,程序将输出 n 个数中选 m 个的组合数,结果对 100000007 取模。
三角形的组合计数找一下这道题
题目描述:
给定一个正整数 n,表示三角形的边长,求由 n 个点组成的三角形的个数。
解题思路:
对于一个由 n 个点组成的三角形,我们需要选择其中的 3 个点作为顶点。因此,可以使用组合数学的知识来求解。
根据组合数学中的组合公式,我们可以得到选择 3 个点的组合数为 C(n, 3)。即 C(n, 3) = n! / ((n-3)! * 3!)。
具体实现代码如下:
```c
#include <stdio.h>
// 计算阶乘
int factorial(int n) {
int result = 1;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
result *= i;
}
return result;
}
// 计算组合数 C(n, r)
int combination(int n, int r) {
return factorial(n) / (factorial(n - r) * factorial(r));
}
int main() {
int n;
printf("请输入三角形的边长n:");
scanf("%d", &n);
int count = combination(n, 3);
printf("由%d个点组成的三角形的个数为:%d\n", n, count);
return 0;
}
```
这样,我们就可以根据输入的边长 n 计算出由 n 个点组成的三角形的个数。