mathematica计算集中载荷下薄板的挠度弯曲问题

薄板的挠度弯曲问题可以通过微分方程组来描述。假设薄板的厚度为 $h(x,y)$，则可以得到以下的微分方程组：

$$\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 w}{\partial y^2}=-\frac{q(x,y)}{D}$$

其中 $w(x,y)$ 表示薄板的挠度，$q(x,y)$ 表示集中载荷，$D$ 表示板材的弯曲刚度。边界条件为：

$$w(x,y)=0 \quad \text{当} \quad x=0,L,y=0,H$$

$$\frac{\partial w}{\partial x}=0 \quad \text{当} \quad x=0,L$$

$$\frac{\partial w}{\partial y}=0 \quad \text{当} \quad y=0,H$$

其中 $L$ 和 $H$ 分别表示薄板的长度和宽度。

可以通过 Mathematica 的 `NDSolve` 函数求解上述微分方程组。以下是一个求解的示例代码：

ClearAll["Global`*"]

L = 1; (* 薄板长度 *)
H = 1; (* 薄板宽度 *)
q = 1; (* 集中载荷 *)
D = 1; (* 板材弯曲刚度 *)

sol = NDSolve[{D[w[x, y], {x, 2}] + D[w[x, y], {y, 2}] == -q/D, 
   w[0, y] == 0, w[L, y] == 0, w[x, 0] == 0, w[x, H] == 0, 
   Derivative[1, 0][w][0, y] == 0, Derivative[1, 0][w][L, y] == 0, 
   Derivative[0, 1][w][x, 0] == 0, Derivative[0, 1][w][x, H] == 0}, 
  w, {x, 0, L}, {y, 0, H}]

Plot3D[Evaluate[w[x, y] /. sol], {x, 0, L}, {y, 0, H}, 
 AxesLabel -> {"x", "y", "w(x,y)"}]

在上述代码中，首先定义了薄板的长度、宽度、集中载荷和板材弯曲刚度。然后使用 `NDSolve` 函数求解微分方程组，并将解赋值给 `sol` 变量。最后使用 `Plot3D` 函数绘制挠度分布的三维图形。