树状数组时间复杂度证明

树状数组（Fenwick Tree）是一种高效的数据结构，用于支持单点修改和区间查询的操作。它的时间复杂度为 $O(\log n)$。

下面给出树状数组时间复杂度的证明：

首先，我们需要知道树状数组的实现过程。树状数组是通过对原数组进行预处理，构造出一棵二叉树来实现的。树状数组中，每个节点维护的是原数组中一定范围内元素的和。具体实现过程如下：

1. 初始化：将原数组每个元素复制到树状数组对应的位置上。

2. 单点修改：若原数组中第 i 个元素的值增加了 x，那么需要对树状数组中所有包含第 i 个位置的节点的值都加上 x。

3. 区间查询：对于原数组的区间 [l, r]，需要求出其和。可以通过查询树状数组中编号为 r 和编号为 l-1 的节点的值的差来得到。

接下来，我们来证明树状数组的时间复杂度是 $O(\log n)$。

对于单点修改操作，我们需要对包含该节点的所有节点进行修改，节点的数量最多是 $\log n$，因为树状数组的深度最多为 $\log n$。每次修改的时间复杂度是 $O(1)$，所以单点修改操作的总时间复杂度是 $O(\log n)$。

对于区间查询操作，我们需要查询两个节点的值的差，节点的数量最多也是 $\log n$。每次查询的时间复杂度是 $O(1)$，所以区间查询操作的总时间复杂度也是 $O(\log n)$。

因此，树状数组的时间复杂度是 $O(\log n)$。