有n行m列的矩形框，填入数字1，2，3.…N*m，每个数字只能使用1次，要求 左边的数字比右边的大，上边的数字比下边大，请编写C语言程序求出有多少 种矩形框的填写方法

这是一个经典的数独填充问题变种，也被称为“洛谷P1674”或者“棋盘上的数字”。要解决这个问题，可以使用回溯算法，递归地尝试所有可能的数字填入，并检查每一步是否满足条件。当找到一种填充方法并满足所有边界条件时，计数器加一。

以下是解决这个问题的一种基本思路，但请注意这只是一个概述，实际的C语言代码会更复杂，包括函数定义、错误处理以及递归过程：

1. 定义一个`is_valid`函数，用于检查当前位置的数字是否合法。
2. 使用回溯函数`fill_rectangle`，初始化当前填入的数字为0，然后对每个格子从左上角开始尝试填充。
3. 如果某个位置已填入数字，跳过；如果合法，则递归向下填充；否则回溯到上一个位置尝试其他数字。
4. 当所有的格子都填充完成后，返回计数器。

#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>

bool is_valid(int grid[n][m], int x, int y, int num) {
    // 检查行、列以及小九宫格内的合法性
}

void fill_rectangle(int grid[n][m], int x, int y, int n_rows, int n_cols, int count) {
    if (x == n_rows || y == n_cols) {
        if (count > 0) count++;
        return;
    }
    
    for (int i = 1; i <= n * m && count > 0; i++) {
        if (is_valid(grid, x, y, i)) {
            grid[x][y] = i;
            fill_rectangle(grid, x + 1, y, n_rows, n_cols, count);
        }
    }
}

int main() {
    int n, m; // 矩形的行数和列数
    scanf("%d %d", &n, &m);

    int grid[n][m]; // 初始化全为0
    int solutions = fill_rectangle(grid, 0, 0, n, m, 0);

    printf("共有 %d 种填法。\n", solutions);
    return 0;
}