有n行m列的矩形框，填入数字123….n*m，每个数字只能能使用1次，要求左边的数字比右边的大，上边的数字比下边大，请编写程序求出有多少种填写方法。

### 回答1：
这是一道典型的回溯算法题目。

我们可以先定义一个二维数组来表示矩形框，然后从左上角开始，依次填入数字，每次填完一个数字后判断是否满足左边的数字比右边的大，上边的数字比下边大的要求。如果满足要求，则继续填下一个数字；如果不满足要求，则回溯到上一个位置，尝试填入另一个数字。

具体实现可以使用递归函数来实现，递归函数的参数包括当前要填的数字、当前填的位置、已经填好的数字等信息。

最后，我们可以使用计数器来统计符合要求的填写方法的数量。

代码如下：

### 回答2：
题目要求在一个n行m列的矩形框中填入数字1到n*m，每个数字只能使用一次，并且要求左边的数字比右边的大，上边的数字比下边的大。要求编写程序求出有多少种填写方法。

我们可以使用递归的方式解决问题。假设当前已经填写了前k个数字，其中第i行第j列的数字为x[i][j]，那么可以得到以下几个条件：

1. x[i][j] > x[i][j-1]（左边的数字比右边的大）
2. x[i][j] > x[i-1][j]（上边的数字比下边的大）

根据这两个条件，我们可以设计递归函数。假设函数f(i, j)表示从第i行第j列开始填写数字的方案数，那么可以得到以下递归关系：

f(i, j) = Σ f(i, j+1)，其中x[i][j] > x[i][j+1]
+ Σ f(i+1, j)，其中x[i][j] > x[i+1][j]

边界条件为f(n, m) = 1，表示填写完最后一格时的方案数为1。

按照上述递归关系进行递归计算，最后得到f(1, 1)即可得到总的方案数。

以下是一个示例代码实现：

def countFillWays(n, m):
    memo = [[0] * (m+1) for _ in range(n+1)]
    
    def dfs(i, j):
        if i == n + 1:
            return 1
        if j == m + 1:
            return dfs(i+1, 1)
        
        if memo[i][j] != 0:
            return memo[i][j]
        
        count = 0
        for k in range(1, n*m+1):
            if (k > i and k > j) or (k < i and k < j):
                count += dfs(i, j+1)
        
        memo[i][j] = count
        return count
    
    return dfs(1, 1)

以上代码使用了一个memo数组来保存计算结果，避免重复计算。最后调用`countFillWays(n, m)`即可得到总的方案数。

### 回答3：
题目要求在一个n行m列的矩形框中填入数字1, 2, 3, ..., n*m，每个数字只能使用1次，并满足左边的数字比右边的大，上边的数字比下边的大。我们可以使用回溯法来解决这个问题。

首先，我们定义一个n行m列的二维数组grid来表示矩形框，grid[i][j]表示第i行第j列填入的数字。
然后，我们定义一个数组used来表示数字是否被使用，used[i]为true表示数字i已经被使用，为false表示数字i还未被使用。

然后，我们编写一个回溯函数backtrack，其中需要三个参数：当前正在填入的数字cur，当前要填入的位置row和col。回溯函数的实现如下：

def backtrack(cur, row, col):
    if cur > n*m:
        # 如果当前数字超过了n*m，表示所有数字都已经填完，此时可行解+1
        nonlocal count
        count += 1
        return
    
    for i in range(row, n): # 遍历行
        start_col = col if i == row else 0  # 如果是同一行，从当前列开始遍历，否则从第0列开始
        for j in range(start_col, m):  # 遍历列
            if not used[cur]:
                if col > 0 and grid[i][col-1] <= cur:
                    # 左边的数字没有大于当前数字cur，不满足条件，跳过
                    continue
                if row > 0 and grid[row-1][col] <= cur:
                    # 上边的数字没有大于当前数字cur，不满足条件，跳过
                    continue
                    
                grid[i][j] = cur
                used[cur] = True
                if j < m-1:
                    backtrack(cur+1, i, j+1) # 填下一列
                else:
                    backtrack(cur+1, i+1, 0) # 填下一行
                grid[i][j] = 0
                used[cur] = False

最后，我们调用回溯函数backtrack来求解可行解的个数。初始化count为0，然后从数字1开始填入矩形框，起始位置为(0, 0)。调用回溯函数后，最终count的值即为可行解的个数。

n = int(input("请输入矩形框的行数："))
m = int(input("请输入矩形框的列数："))

grid = [[0] * m for _ in range(n)]
used = [False] * (n*m)
count = 0

backtrack(1, 0, 0)

print("可行解的个数为：", count)

这样我们就通过回溯法求出了有多少种填写方法。