matlab用最小二乘法求解二次

在MATLAB中，可以使用内置函数`polyfit`和`polyval`来利用最小二乘法求解二次方程（也称为多项式拟合）。当你有一个一维数组的数据点，你想找到一条二次曲线（形式为y = ax^2 + bx + c）来最好地拟合这些数据时，可以按照以下步骤操作：

1. 准备数据：假设你有一个包含数据点的向量`x_data`和对应的响应值向量`y_data`。

2. 使用`polyfit`函数：输入数据`x_data`和`y_data`，以及拟合阶数2（因为是二次方程），得到系数a、b和c的数组，通常称为`p coefficients`。

   p = polyfit(x_data, y_data, 2);

3. 创建二次函数表达式：将系数转换为实际的多项式函数形式。

   quadratic_function = @(x) p(1)*x.^2 + p(2)*x + p(3);

4. 求解：你可以现在用这个函数对新的x值计算相应的y值，例如对于一个新的数据点集`new_x`，通过`polyval`函数。

   new_y = polyval(quadratic_function, new_x);

相关问题

matlab用最小二乘法求解线性方程系数的最佳估计量

Matlab中可以使用内置函数`lsqcurvefit`或`polyfit`来进行最小二乘法求解线性方程组的系数最佳估计。这两个函数主要用于拟合数据点到线性模型、多项式模型等。

1. `lsqcurvefit`：这个函数适用于非线性函数的拟合，当你有一个非线性的响应变量和一组自变量的数据，你想找到非线性模型的参数值使拟合误差最小化时，可以使用它。语法大致如下：

   p = lsqcurvefit(@nonlinear_function, initial_guess, x_data, y_data);

其中`@nonlinear_function`是一个匿名函数，代表你要拟合的实际非线性模型；`initial_guess`是你对参数的初始猜测；`x_data`和`y_data`是观测数据。

2. `polyfit`：如果想要求解的是线性回归或多项式拟合，可以直接使用`polyfit`函数。例如，对于一元二次多项式的拟合：

   coefficients = polyfit(x_data, y_data, degree);  % degree是多项式的阶数

这将返回一个向量，其中元素对应于多项式表达式中的系数。

matlab 最小二乘法拟合二次函数

假设有一组数据点 $(x_i, y_i)$，我们要用最小二乘法拟合一个二次函数 $y=a x^2+b x+c$，其中 $a$、$b$、$c$ 是待求的参数。

最小二乘法的思路是，使拟合函数与数据点的误差平方和最小。即，定义误差函数 $E=\sum_i (y_i - a x_i^2 - b x_i - c)^2$，我们要找到使 $E$ 最小的 $a$、$b$、$c$。

为了求解 $a$、$b$、$c$，我们可以对 $E$ 分别对 $a$、$b$、$c$ 求偏导数，并令偏导数为 0，得到三个方程：

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial E}{\partial a}=2\sum_i (y_i-ax_i^2-bx_i-c)(-x_i^2)&=0 \\
\frac{\partial E}{\partial b}=2\sum_i (y_i-ax_i^2-bx_i-c)(-x_i)&=0 \\
\frac{\partial E}{\partial c}=2\sum_i (y_i-ax_i^2-bx_i-c)(-1)&=0
\end{aligned}
$$

将 $a$、$b$、$c$ 的解代入二次函数 $y=a x^2+b x+c$ 中，就得到了最小二乘法拟合的二次函数。

在 MATLAB 中，可以使用 polyfit 函数实现最小二乘法拟合。具体方法如下：

假设有数据点 $(x_i, y_i)$ 存储在两个向量 x 和 y 中，要拟合的二次函数为 $y=a x^2+b x+c$，可以使用以下代码求解 $a$、$b$、$c$：

p = polyfit(x, y, 2); % 拟合二次函数
a = p(1);
b = p(2);
c = p(3);

其中，第一个参数是 x 向量，第二个参数是 y 向量，第三个参数是拟合函数的次数，这里设为 2。拟合结果存储在向量 p 中，第一个元素是 $a$，第二个元素是 $b$，第三个元素是 $c$。

拟合结果可以用 polyval 函数在一定范围内计算函数值，例如：

x_fit = linspace(min(x), max(x), 100); % 生成 100 个 x 值
y_fit = polyval(p, x_fit); % 计算对应的 y 值
plot(x, y, 'o', x_fit, y_fit); % 绘制数据点和拟合曲线

其中，第一个参数是生成 x 值的范围，第二个参数是拟合函数的系数向量。生成的 x 值存储在向量 x_fit 中，计算出的 y 值存储在向量 y_fit 中。最后用 plot 函数绘制数据点和拟合曲线。