归一化函数softmax

### Softmax 归一化函数详解

#### 原理
Softmax 是一种特殊的归一化函数，能够将输入的数值向量转化为一个概率分布向量。对于给定的输入 \( z_i \)，Softmax 的计算公式如下：

\[ S(y_i) = \frac{e^{z_i}}{\sum_{j} e^{z_j}} \]

通过上述公式，Softmax 可以确保输出的概率总和为 1，并且每个分量都位于区间 (0, 1) 内[^3]。

#### 实现方式
以下是 Python 中基于 NumPy 库实现 softmax 函数的例子：

import numpy as np

def softmax(z):
    """Compute the softmax of vector z."""
    # Subtracting max(z) improves numerical stability.
    e_z = np.exp(z - np.max(z))
    return e_z / e_z.sum(axis=0)

# Example usage:
input_vector = np.array([2.0, 1.0, 0.1])
output_probabilities = softmax(input_vector)
print("Input Vector:", input_vector)
print("Output Probabilities:", output_probabilities)

此代码片段展示了如何利用指数运算来放大差异并最终得到一组加权后的概率值[^2]。

#### 应用场景
Softmax 主要应用于机器学习领域中的多类别分类问题，在这种情况下它通常被放置于模型的最后一层作为输出层的一部分。当面对多个可能的结果选项时，Softmax 能够有效地评估每一个类别的相对可能性大小。此外，由于其良好的数学性质，softmax 经常与交叉熵损失函数配合使用来进行优化训练过程。