根据 y=1/3+…+[1/(2n-1])*[1/3^(2n-1)] 求 y 的近似值。当 n 分别取 100、1000、10000 时，结果是多少？要求：分别用循环结构和向量运算（使用sum 函数）来实现

给定序列 \(y = \frac{1}{3} + \frac{1}{5 \cdot 3^2} + \frac{1}{7 \cdot 3^4} + \ldots + \frac{1}{(2n - 1) \cdot 3^{2n-2}}\)，这是一个等比数列的部分和。为了找到它在\(n=100\)、\(1000\)、\(10000\)时的近似值，我们首先需要理解这个序列是一个几何级数的一部分，其公式为：

\[ S_n = \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3^2}} \cdot \left(\frac{1 - (\frac{1}{3})^{2n}}{1 - \frac{1}{3}}\right) \]

对于循环结构：

# 初始化值
result_loop = 0
common_ratio = 1 / 9

for n in [100, 1000, 10000]:
    term = common_ratio
    for i in range(1, n):
        term *= (2 * i - 1) / 3**(2*i-1)
    result_loop += term
print("When n is", n, "the approximate value with loop is:", result_loop)

对于向量运算（使用Python的`numpy`库中的`sum`函数）：

import numpy as np

# 初始化值
result_vector = 0
common_ratio = 1 / 9
n_values = [100, 1000, 10000]

# 使用向量化操作计算每个n的项
def geometric_series_sum(n):
    return common_ratio * (1 - (1/3)**(2*n)) / (1 - 1/3)

vector_result = sum(geometric_series_sum(i) for i in n_values)
print("The approximate values with vector operation are:", vector_result)

请注意，以上代码假设你正在使用Python环境，并且已经安装了NumPy库。如果你正在使用其他语言，如MATLAB，其语法和库函数可能会有所不同。