kruskal邻接表

Kruskal算法是一种用于求解最小生成树的算法。在C语言中，可以使用邻接表结构来实现Kruskal算法。邻接表是一种常用的图的表示方式，通过链表将每个顶点的邻接点连接起来，＊＊＊.com/Sunnk/Data-Structure，其中Kruskal文件夹中包含了克鲁斯卡尔算法的代码。你可以使用VS（Visual Studio）打开该文件夹，并查看、编辑和运行代码。

关于Kruskal算法的时间复杂度，它的时间复杂度为O(|E|log|E|)，其中|E|表示图的边数。因此，Kruskal算法适用于求解稀疏图的最小生成树问题。<span class="em">1</span><span class="em">2</span>

相关问题

最小生成树Kruskal算法（邻接矩阵和邻接表）

Kruskal算法是求解无向图的最小生成树（MST）问题的一种贪心算法。它的基本思想是将图中的边按照权值从小到大进行排序，然后依次加入到生成树中，如果加入该边不会形成环路，则将该边加入生成树中，否则舍弃该边。

Kruskal算法的实现有两种方式，一种是基于邻接矩阵的实现，一种是基于邻接表的实现。

1. 基于邻接矩阵的实现

首先，我们需要定义一个结构体 `Edge` 表示图中的一条边，包括起点、终点、权值三个属性。然后，我们将所有的边按照权值从小到大排序，依次遍历每条边，判断加入该边是否会形成环路，如果不会，则将该边加入生成树中。

代码实现如下：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int MAXN = 100; // 最大顶点数
const int INF = 0x3f3f3f3f; // 表示正无穷

// 边的结构体
struct Edge {
    int u, v, w; // 起点、终点、权值
    bool operator<(const Edge& e) const {
        return w < e.w;
    }
} edges[MAXN * MAXN]; // 存储所有边的数组

int n, m; // 顶点数和边数
int parent[MAXN]; // 并查集数组，用于判断是否形成环路

// 并查集查找根节点
int find(int x) {
    if (parent[x] != x) {
        parent[x] = find(parent[x]);
    }
    return parent[x];
}

// Kruskal算法求解最小生成树
void kruskal() {
    int ans = 0; // 最小权值和
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        parent[i] = i; // 初始化并查集
    }
    sort(edges, edges + m); // 按照边权从小到大排序
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int u = edges[i].u, v = edges[i].v, w = edges[i].w;
        int pu = find(u), pv = find(v);
        if (pu != pv) { // 不形成环路
            parent[pu] = pv; // 更新并查集
            ans += w; // 加入该边
        }
    }
    cout << "最小权值和为：" << ans << endl;
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        cin >> edges[i].u >> edges[i].v >> edges[i].w;
    }
    kruskal();
    return 0;
}

2. 基于邻接表的实现

邻接表表示图的方法是将每个顶点的所有邻接点存储在一个链表中，因此我们需要定义一个结构体 `Node` 表示链表中的一个节点，包括邻接点和权值两个属性。然后，我们将所有的边按照权值从小到大排序，依次遍历每条边，判断加入该边是否会形成环路，如果不会，则将该边加入生成树中。

代码实现如下：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;

const int MAXN = 100; // 最大顶点数
const int INF = 0x3f3f3f3f; // 表示正无穷

// 邻接表中的节点结构体
struct Node {
    int v, w; // 邻接点和权值
};

// 边的结构体
struct Edge {
    int u, v, w; // 起点、终点、权值
    bool operator<(const Edge& e) const {
        return w < e.w;
    }
} edges[MAXN * MAXN]; // 存储所有边的数组

int n, m; // 顶点数和边数
int parent[MAXN]; // 并查集数组，用于判断是否形成环路
vector<Node> adj[MAXN]; // 邻接表

// 并查集查找根节点
int find(int x) {
    if (parent[x] != x) {
        parent[x] = find(parent[x]);
    }
    return parent[x];
}

// Kruskal算法求解最小生成树
void kruskal() {
    int ans = 0; // 最小权值和
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        parent[i] = i; // 初始化并查集
    }
    sort(edges, edges + m); // 按照边权从小到大排序
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int u = edges[i].u, v = edges[i].v, w = edges[i].w;
        int pu = find(u), pv = find(v);
        if (pu != pv) { // 不形成环路
            parent[pu] = pv; // 更新并查集
            ans += w; // 加入该边
            adj[u].push_back({v, w}); // 存储该边
            adj[v].push_back({u, w});
        }
    }
    cout << "最小权值和为：" << ans << endl;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cout << i << ": ";
        for (int j = 0; j < adj[i].size(); j++) {
            cout << "(" << adj[i][j].v << ", " << adj[i][j].w << ") ";
        }
        cout << endl;
    }
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        cin >> edges[i].u >> edges[i].v >> edges[i].w;
    }
    kruskal();
    return 0;
}

以上就是Kruskal算法的邻接矩阵和邻接表实现。

无向图的邻接矩阵和邻接表和最小生成树的格式怎么写

邻接矩阵：

假设有 $n$ 个节点的无向图，邻接矩阵可以用一个 $n \times n$ 的矩阵 $M$ 来表示。其中，$M_{i,j}$ 表示节点 $i$ 和节点 $j$ 之间是否有边相连，如果有则为边的权重，如果没有则为无穷大。邻接矩阵的表示如下：

$$
M=
\begin{bmatrix}
0 & w_{1,2} & w_{1,3} & \cdots & w_{1,n} \\
w_{2,1} & 0 & w_{2,3} & \cdots & w_{2,n} \\
w_{3,1} & w_{3,2} & 0 & \cdots & w_{3,n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
w_{n,1} & w_{n,2} & w_{n,3} & \cdots & 0 \\
\end{bmatrix}
$$

其中，$w_{i,j}$ 表示节点 $i$ 和节点 $j$ 之间的边权重，如果节点 $i$ 和节点 $j$ 之间没有边相连，则 $w_{i,j}=\infty$。

邻接表：

邻接表是一种更加紧凑的表示方法，对于每个节点 $i$，我们用一个链表来存储该节点与其它节点之间的边。具体来说，对于节点 $i$，我们维护一个链表 $L_i$，链表中的每个节点表示节点 $i$ 与某个节点之间的一条边。邻接表的表示如下：

$$
\begin{aligned}
L_1 &= [(2,w_{1,2}),(3,w_{1,3}),\cdots,(n,w_{1,n})] \\
L_2 &= [(1,w_{2,1}),(3,w_{2,3}),\cdots,(n,w_{2,n})] \\
L_3 &= [(1,w_{3,1}),(2,w_{3,2}),\cdots,(n,w_{3,n})] \\
&\cdots \\
L_n &= [(1,w_{n,1}),(2,w_{n,2}),\cdots,(n-1,w_{n,n-1})]
\end{aligned}
$$

其中，$(i,j)$ 表示节点 $i$ 和节点 $j$ 之间的边，$w_{i,j}$ 表示边的权重。

最小生成树：

最小生成树是一种用于无向图的算法，其目的是寻找一棵树，使得该树连接了图中的所有节点，并且边权重之和最小。最小生成树可以使用 Prim 算法和 Kruskal 算法来实现。

最小生成树的格式通常是一个包含 $n-1$ 条边的集合，其中 $n$ 是图中节点的个数。每条边都表示为 $(u,v,w)$ 的形式，表示节点 $u$ 和节点 $v$ 之间有一条边，边权重为 $w$。