对任何非零偶数n,总可以找到奇数m和正整数k,使得n = m * 2^k.为了求出2个n阶矩阵的乘积,可以把一个n阶矩阵划分成m×m个子矩阵,每个子矩阵2^k×2^k个元素。当需要求2^k×2^k的子矩阵的积时,使用Strassen算法。
时间: 2023-07-01 12:19:28 浏览: 244
这是一个经典的矩阵乘法的问题,我很乐意为您提供解答。首先,我们可以将一个$n$阶矩阵$A$划分成$m \times m$个子矩阵,每个子矩阵的大小为$2^k \times 2^k$,其中$n = m \times 2^k$,同时也将另一个$n$阶矩阵$B$划分成相同大小的子矩阵。
然后,我们可以使用Strassen算法计算两个子矩阵之间的乘积。Strassen算法的基本思想是将两个矩阵划分成四个$2^{k-1} \times 2^{k-1}$的子矩阵,然后将矩阵乘法转化为一些加减和乘法的运算。具体来说,我们可以使用以下公式计算两个子矩阵的乘积:
$P_1 = (A_{11} + A_{22})(B_{11} + B_{22})$
$P_2 = (A_{21} + A_{22})B_{11}$
$P_3 = A_{11}(B_{12} - B_{22})$
$P_4 = A_{22}(B_{21} - B_{11})$
$P_5 = (A_{11} + A_{12})B_{22}$
$P_6 = (A_{21} - A_{11})(B_{11} + B_{12})$
$P_7 = (A_{12} - A_{22})(B_{21} + B_{22})$
然后,我们可以使用以下公式计算子矩阵的乘积:
$C_{11} = P_1 + P_4 - P_5 + P_7$
$C_{12} = P_3 + P_5$
$C_{21} = P_2 + P_4$
$C_{22} = P_1 - P_2 + P_3 + P_6$
最后,我们可以将所有子矩阵的乘积组合成一个$n$阶矩阵$C$。具体来说,对于每个$i$和$j$,我们可以将$C_{i,j}$表示为:
$C_{i,j} = \sum_{k=1}^{m} A_{i,k} \times B_{k,j}$
这种方法可以保证对于任何非零偶数$n$,都可以求出$A$和$B$的乘积。此外,该算法的时间复杂度为$O(n^{\log_2 7})$,该复杂度比传统的矩阵乘法的时间复杂度$O(n^3)$低。
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